7.3. Статистические игры с проведением эксперимента. Использование апостериорных вероятностей

Особенностью статистической игры является возможность для ЛПР углублять и уточнять свои знания относительно состояний природы путем постановки эксперимента. Если бы была возможность неограниченного экспериментирования, ЛПР мог бы получить полную информацию о состоянии природы и действовать в условиях полной определенности. Однако постановка эксперимента всегда связана с затратами средств и времени, потери от которых могут оказаться значительнее того выигрыша, который могут дать результаты эксперимента.

Возможность проведения эксперимента существенно расширяет класс стратегий ЛПР и приводит к значительному увеличению числа его чистых стратегий.

Предположим, что в игре без экспе­риментов у ЛПР имеется m возможных решений (стратегий) A₁,…, A_m, число возможных исходов эксперимента рав­но k.

При произвольных m и k общее число чистых стратегий ЛПР при проведении эксперимента равно N = m^k. При больших k и m число чистых стратегий ЛПР может оказаться столь значительным, что возникнут серьезные затруднения, связанные с их анализом.

В подобных случаях можно добиться значительного упрощения решения задачи при нахождении байесовских стратегий, если вместо априорного распределения вероятностей использовать апостериорное распределение, вычисленное на основе результатов проведенного эксперимента. При этом число чистых стратегий ЛПР в задаче с экспериментом останется тем же самым, что и в задаче без эксперимента.

Априорное распределение вероятностей q(Р_j), получаемое на основе статистических данных и прошлого опыта, дает полезную информацию о том, насколько часто то или иное состояние природы встречается вообще, безотносительно к тем конкретным условиям, в которых ЛПР приходится принимать решение. Целью эксперимента, проводимого ЛПР, является получение добавочной информации о действительном состоянии природы.

Предположим, что пространством возможных исходов эксперимента является множество Z = (z₁, ... z_k). При этом исход конкретного эксперимента будет случайным и потому также не дает возможности точно судить о действительном состоянии природы. Однако неопределенность относительно состояния природы значительно уменьшается, если эксперимент поставлен правильно.

Это уменьшение неопределенности относительно состояния природы заключается в том, что в результате эксперимента вместо априорного распределения q(Р_j) получается новое распределение вероятностей q (Р_j |z), которое называют апостериорным распределением вероятностей на простран­стве состояний Р при данном конкретном исходе эксперимента zZ. Апостериорное распределение вероятностей q(Р_j|z) может быть найдено по формуле Байеса, которую в применении к нашему случаю запишем в виде

(7.8)

где p (z| P_j) - условная вероятность исхода эксперимента z при данном состоянии природы Р_j Р, определенная на основе статистических данных; p(z) - безусловная вероятность исхода эксперимента z.

С другой стороны, по формуле полной вероятности безусловная вероятность исхода эксперимента z будет определяться выражением:

p(z) = p(z| Р_j)· q(Р_j) (7.9)

С учетом (7.9) перепишем выражение апостериорного распределения вероятностей в виде

(7.10)

При применении апостериорных вероятностей q(Р_j|z) в качестве чистых стратегий ЛПР используются те же элементы пространства решений A={A₁, ..., A_m}, что и для игры без эксперимента . При этом все параметры игры, соответствующие каждому действию ЛПР A_iA, будут определяться аналогично ситуации с использованием априорных вероятностей.