7.2. Решение состязательных задач в играх с природой

Решением игры с природой является выбор оптимальной смешанной стратегии игрока 1 (человека), позволяющей обеспечить ему максимальный выигрыш или минимальный проигрыш.

В различных случаях человек может пользоваться различными принципами выбора своей стратегии – критериями, позволяющими определить наилучшую смешанную стратегию. Рассмотрим некоторые из них.

А. Если неопределенность реализации состояний природы носит стохастический характер, то может быть принят один из следующих критериев.

1. Критерий Байеса (Bayes). Используется для случаев, когда для каждого состояния природы P_j (из множества ее возможных состояний) до начала решения игры можно указать вероятность его реализации , то есть обладаем априорными вероятностями этих состояний. Причем q_j = 1.

Для человека оказывается целесообразным выбирать стратегию, которая дает максимальный взвешенный вероятностями выигрыш по строке матрицы платежа:

Ba = q_j · a_ij (7.1)

или минимальные взвешенные вероятностями потери

Ba = q_j · a_ij (7.2)

Эту наилучшую стратегию называют байесовской стратегией, критерий оценки целесообразности называется критерием Т.Байеса.

2. Критерий Лапласа (принцип недостаточного основания Лапласа) (Laplace). Если вероятности реализации состояний природы в принципе существуют, но неизвестны, тогда можно предположить, что все состояния природы подчиняются какому-либо закону распределения вероятностей, например, состояния природы равновероятны

В таком случае La = a_ij или La = a_ij (7.3)

Могут быть использованы и другие распределения вероятности для отдельных состояний природы. Однако во всех случаях нельзя утверждать, что принятое решение является оптимальным абсолютно: оптимальным оно является только относительно принятого распределения вероятностей состояний природы.

Данный критерий в общем-то недостаточно объективен. Поэтому, чтобы не прибегать к нему, лучше найти ориентировочные значения q_j по методу экспертных оценок и пользоваться критерием Байеса.

* * * * * * * * * *

Б. Если неопределенность состояний природы нестохастична, то условия действия ЛПР для принятия оптимального решения существенно неблагоприятны. Задача отыскания действительно оптимального решения в этом случае подменяется задачей отыскания не самого худшего решения. К этой проблеме существует несколько подходов, которые выражаются через критерии выбора решения в условиях полной неопределенности. Основными из этой группы критериев является критерий Вальда (Wald), Сэвиджа (Savage) и Гурвица (Hurwicz).

Ниже эти критерии рассматриваются подробно.

3. Критерий Вальда (критерий осторожного наблюдателя). Это максиминный (минимаксный) критерий, который успешно применяется в стратегических играх. Согласно этому критерию предполагается, что игра с природой ведется как с разумным и агрессивным противником, то есть, среда находится в самом неблагоприятном для человека состоянии. Оптимальной для человека считается стратегия, дающая гарантированный результат, то есть, нижнее значение игры

или верхнее значение игры _(7.4)

Это весьма перестраховочный пессимистичный подход, который, тем не менее, бывает в ряде случаев оправдан.