24. Структура и свойства двойственной задачи
Задачу максимизации ЛП с экономической точки зрения можно рассматривать как задачу о распределении ограниченных ресурсов b1,.,bm между различными потребителями, например между определенными технологическими процессами, которые представляются столбцами A1,.,An матрицы ограничений задачи.
Любое допустимое решение задачи ЛП x1,.,xn дает конкретное распределение, которое указывает ту долю каждого из ресурсов, которая должна быть использована при осуществлении соответствующего технологического процесса.
|
взаимосвязи.
Переменные y1,...,ym двойственной задачи иногда называют теневыми ценами. Двойственную задачу выгоднее решать, чем прямую, если в прямой задаче при малом количестве переменных имеется большое количество ограничений (m > n). Связь между оптимальными решениями прямой и двойственной задач устанавливают, анализируя следующие теоремы теории двойственности.
Теорема
2.1.1.
Если
x0
и
y0
допустимые
решения прямой и двойственной задач,
то есть
то есть значения целевой функции прямой задачи никогда не превышают значения целевой функции двойственной задачи. Теорема 2.1.2. (основная теорема двойственности). Если x0 и y0 допустимые решения прямой и двойственной задач и кроме того, если cTx0=bTy0, то x0 и y0 - оптимальные решения пары двойственных задач.
|
||
|
где Ai - i -я строка матрицы А.
|
||
|
|
и
,
то
Теорема
2.1.3. Если в оптимальном решении
прямой задачи (2.1.5) - (2.1.7) i - тое
ограничение выполняется как строгое
неравенство, то оптимальное значение
соответствующей двойственной переменной
равно нулю, то есть
Теорема 2.1.4. Если в оптимальном решении двойственной задачи ограничение j выполняется как строгое неравенство, то оптимальное значение соответствующей переменной прямой задачи должно быть равно нулю, то есть
|
|
(2.1.21) |
Дадим экономическую интерпретацию теоремы 2.1.4.
Теорема 2.1.5. ( теорема существования ). Прямая и двойственная задачи имеют оптимальные решения тогда и только тогда, когда обе они имеют допустимые решения.
Теорема 2.1.6. (теорема двойственности). Допустимый вектор x0 оптимальный тогда и только тогда, когда в двойственной задаче имеется такое допустимое решение y0, что
|
|
