12. Золотое сечение
Пусть
задана функция
.
Тогда для того, чтобы найти определённое
значение этой функции на заданном
отрезке, отвечающее критерию поиска
(пусть это будет минимум),
рассматриваемый отрезок делится в
пропорции золотого сечения в обоих
направлениях, то есть выбираются две
точки
и
такие,
что:
Иллюстрация выбора промежуточных точек метода золотого сечения.
,
где
—
пропорция золотого
сечения.
Таким образом:
То
есть точка
делит
отрезок
в
отношении золотого сечения. Аналогично
делит
отрезок
в
той же пропорции. Это свойство и
используется для построения итеративного
процесса.
Алгоритм
На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками и рассчитываются значения в этих точках. После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают. На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.
Формализация
-
Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка
и
точность
. -
Шаг 2. Рассчитывают начальные точки деления:
и
значения в них целевой
функции:
.
-
Если
(для
поиска max изменить неравенство на
),
то
-
Иначе
.
Шаг 3.
-
Если
,
то
и
останов. -
Иначе возврат к шагу 2.
13. Метод чисел Фибоначчи
В
силу того, что в асимптотике
,
метод золотого сечения может быть
трансформирован в так называемый метод
чисел
Фибоначчи. Однако при этом
в силу свойств чисел Фибоначчи количество
итераций строго ограничено. Это удобно,
если сразу задано количество возможных
обращений к функции.
Алгоритм
-
Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка
и
число итераций
,
рассчитывают начальные точки деления:
и
значения в них целевой
функции:
. -
Шаг 2.
.
-
Если
,
то
. -
Иначе
.
Шаг 3.
-
Если
,
то
и
останов. -
Иначе возврат к шагу 2.
11. Метод половинного деления
Его ещё называют методом дихотомии. Этот метод решения уравнений отличается от выше рассмотренных методов тем, что для него не требуется выполнения условия, что первая и вторая производная сохраняют знак на интервале [a, b]. Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x) в том числе недифференцируемых.
Разделим
отрезок [a,
b]
пополам точкой
.
Если
(что
практически наиболее вероятно), то
возможны два случая: либо f(x)
меняет знак на отрезке [a,
c]
Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.
17. Задача о диете
Исторические задача о диете является одной из первых задач линейного программирования.
Постановка задачи - первый и наиболее важный этап построения модели, способный обеспечить правильное решение проблемы.
Даме необходимо похудеть, за помощью обратилась к подруге.
Построение модели - рассмотрение этого этапа и является главной целью.
Подруга посоветовала перейти на рациональное питание, состоящее из двух продуктов P и Q.
Суточное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий. На упаковке продукта Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на упаковке с продуктом Q - 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 килограмма продукта Р равна 15 руб., а 1 кг продукта Q - 25 руб.
Так как дама была стеснена в средствах, но ее интересовал вопрос: в какой пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?
Перейдем к формализации данной ситуации на языке математических символов.
Обозначим через х количество продукта Р и через у количество продукта Q, требуемые для выполнения условий диеты.
Количество единиц жира, содержащегося в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 15х + 4 и по условию диеты не должно превосходить 14:
В свою очередь, количество калорий, содержащихся в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 150х + 200у и по условию диеты должно быть не меньше 300:
Теперь о стоимости z продуктов. Она равна
и в соответствии с высказанными пожеланиями должна быть минимальной.
Последнее записывается так:
Тем самым мы получили систему формул:
которую решим графическим способом.
Нас интересует только та ее часть, которая лежит над треугольником BDE. Вычисляя значения z во всех трех вершинах этого треугольника
и сравнивая полученные результаты, замечаем, что наименьшее значение (35) достигается в вершине Е. Таким образом,
и искомая пропорция - 2 : 3.