16. Задача о выпуске продукции

Фирма выпускает два вида древесно-стружечных плит - обычные и улучшенные. При этом производится две основные операции - прессование и отделка. Требуется указать, какое количество плит каждого типа можно изготовить в течение месяца так, чтобы обеспечить максимальную прибыль при следующих ограничениях на ресурсы (материал, время, затраты):

Затраты	Партия из 100 плит		Имеющиеся ресурсы на месяц
	обычных	улучшенных
Материал (фунты) Время на прессование (часы) Время на отделку (часы) Средства (деньги)	20 4 4 30	40 6 4 50	4000 900 600 6000
Прибыль	80	100	max

Перейдем к построению математической модели поставленной задачи. Введем следующие обозначения. Пусть

х - количество партий в 100 плит обычного вида, изготавливаемых в течение месяца; у - количество партий в 100 плит улучшенного качества, изготавливаемых в течение месяца.

Тогда ожидаемую прибыль можно записать так:

Требуется найти такие значения х и у, подчиненные условиям

для которых

Для того, чтобы найти в первой четверти плоскости хОу множество точек, координаты (х, у) которых удовлетворяют указанным выше неравенствам, необходимо сначала построить прямые (по точкам их пересечения с координатными осями)

а затем, используя точку начала отсчета О(0, 0), определить соответствующие полуплоскости. Пересечением полученных полуплоскостей будет четырехугольник ОВМЕ.

Наша целевая функция достигает наибольшего значения в одной из вершин четырехугольника.

Нам необходимо найти координаты точки М - точки пересечения прямых EF и АВ, для этого надо решить систему уравнений

Вычислить значения z в точках В(0, 100), Е(150, 0), М(100, 50):

Из полученных значений выберем наибольшее и получим ответ:

14. Общая задача линейного программирования

В общем случае и число неизвестных , и число ограничений могут достигать десятков, сотен, тысяч и т.д. Однако набор соответствующих условий ничем (кроме количества) от рассмотренных выше примеров не отличается. Это нетрудно заметить уже по общей постановке задачи линейного программирования.

Стандартная математическая формулировка общей задачи линейного программирования выглядит так: требуется найти экстремальное значение показателя эффективности (целевой функции)

(линейной функции элементов решения ) при линейных ограничительных условиях, накладываемых на элементы решения:

где - заданные числа.

Что касается существующих методов решения этой задачи с числом переменных, больших двух, то в их основе лежат те же идеи, на которые мы опирались при разработке графического подхода. Конечно, в случае сильного увеличения числа переменных и ограничений техника получения решения заметно усложняется, но она опирается на совершенно стандартные, хорошо разработанные алгоритмы (возникающие трудности связаны лишь с ростом объема необходимых вычислений).

Общую постановку задачи линейного программирования можно записать в более компактной форме, если воспользоваться следующим правилом.

Правило сокращенного суммирования. Для обозначения суммы чисел :

принята такая запись:

где ∑ - знак суммирования, а k - индекс суммирования.

Это обозначение очень удобно:

А вот как выглядит запись общей задачи линейного программирования:

18- 19. Задача о размещении (транспортная задача) – это распределительная задача, в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.

Стандартная транспортная задача - это задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукцииодного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Исходные параметры модели ТЗ: 1.       n – количество пунктов отправления, m – количество пунктов назначения. 2.       – запас продукции в пункте отправления  () [ед. тов.]. 3.        – спрос на продукцию в пункте назначения  () [ед. тов.]. 4.        – тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления  в пункт назначения  [руб./ед. тов.].

Этапы построения модели 1.       Определение переменных. 2.       Проверка сбалансированности задачи. 3.       Построение сбалансированной транспортной матрицы. 4.       Задание ЦФ. 5.       Задание ограничений. Транспортная модель

;

(7)

Целевая функция представляет собой транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте.

Транспортная задача  называется сбалансированной, если , в противном случае – несбалансированной.

Поскольку ограничения модели (7) могут быть выполнены только при сбалансированной ТЗ, то при построении транспортной модели необходимо проверять условие баланса. В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, то есть:

.

(8)

Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:

Постановка задачи

Для производства двух видов продукции А и В предприятие использует 4 группы оборудования (1, 2, 3, 4) на производство одной штуки продукции А требуется занять в течение рабочей смены 1, 0, 5 и 3 единиц соответственно 1, 2, 3, 4 оборудования, а на производство одной штуки продукции В требуется 1, 1, 0, 2 единиц оборудования 1, 2, 3, 4. Имеется оборудование по группам 1 – 18, 2 – 12, 3 – 24, 4 – 18 единиц. Предприятие получает с одной штуки продукции А 4 гривны чистого дохода и 6 гривен - с одной штуки продукции В.

Сколько штук продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы получить наибольшую прибыль?

	Группа оборудования, штук для производства единицы продукции				Прибыль, грн
	1	2	3	4
А	1	0	5	3	4
В	1	1	0	2	6

Построение математической модели

Для реализации графического метода решения задач линейного программирования необходимо определить целевую функцию:

Z=4*x1+6*x2, где Z→max – целевая функция,

x1 – количество изготовленной продукции вида А,

x2 – количество изготовленной продукции вида В.

Далее необходимо определить ограничения, задающие ОДР:

1. x1+ x2 ≤ 18; вытекает из доступного количества оборудования первой группы

2. x2 ≤ 12; вытекает из доступного количества оборудования второй группы

3. 5*x1 ≤ 24; вытекает из доступного количества оборудования третей группы

4. 2*x1+2*x2 ≤ 18; вытекает из доступного количества оборудования четвёртой группы

5. x1 ≥ 0 ; условие неотрицательности;

6. x2 ≥ 0 ; условие неотрицательности;

Построим все полученные ограничения и целевую функцию:

Теперь можно увидеть, что ОДР ограничена (4) x1+x2 ≤ 9, (3) x1 ≤ 4.8, x1 ≤ 0, x2≤ 0.

Наилучшее (оптимальное) решение отмечено красным крестиком. Максимальная прибыль достигается в точке (0, 9), А=0, В=9; при нахождении оптимального решения данной задачи следует помнить, что количество продукции (равно как и количество ресурса) целое число.

Z(0,9)=4*0+9*6=54 (грн).

Чувствительность модели

Благодаря исследованию чувствительности модели, мы получаем информацию о ценности ресурса.

Оборудование группы 1 (голубой цвет на графике) не является дефицитным и не влияет на оптимальную точку т.к. вышло далеко за ОДР, его очень много. Это оборудование станет дефицитным при уменьшении его количества на 9 единиц.

Оборудование группы 2 (зелёный цвет на графике) так же не является дефицитным, однако, при уменьшении его количества на 3 единицы оно начнёт влиять на результат.

Оборудование группы 3 (синий цвет на графике) не дефицитно. Изменяя его количество, при неизменном количестве других ресурсов, мы не повлияем на результат т.к. для производства продукции А (именно она должна производиться для максимальной прибыли) его расход равен 0.

Оборудование группы 4 (чёрный цвет на графике) является дефицитным, ценность данного ресурса можно определить, увеличив его количество на 2 единицы (т.к. именно столько необходимо для производства одной единицы продукции А):

Следовательно, при изменении количества ресурса 4 на единицу прибыль растёт на 3 гривны. Данный ресурс можно увеличивать до 24 единиц, потом он перестанет быть дефицитным, значит, не будет влиять на оптимальное решение.

23.

Двумерные задачи линейного программирования решаются графически. Для случая N=3 можно рассмотреть трехмерное пространство и целевая функция будет достигать своё оптимальное значение в одной из вершин многогранника.

В общем виде, когда в задаче участвуют N-неизвестных, можно сказать, что область допустимых решений, задаваемая системой ограничивающих условий, представляется выпуклым многогранником в n-мерном пространстве и оптимальное значение целевой функции достигается в одной или нескольких вершинах. Решить данные задачи графически, когда количество переменных более 3 весьма затруднительно. Существует универсальный способ решения задач линейного программирования, называемый симплекс-методом.

Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные X₁, X₂, ..., X_r. Тогда наша система уравнений может быть записана как

К такому виду можно привести любую совместную систему, например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно выражать через остальные первые r неизвестных (мы это сделали для определенности записи). Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными.

Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных (выраженных через свободные), мы будем получать различные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты переменные X₁, X₂, ..., X_r, то решение {b₁, b₂,..., b_r, 0, ..., 0} будет опорным при условии, что b₁, b₂,..., b_r ≥ 0.

Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.

Итак, симплексный метод вносит определенный порядок как при нахождении первого (исходного) базисного решения, так и при переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем.

Имея систему ограничений, приведенную к общему виду, то есть к системе m линейных уравнений с n переменными (m < n), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще.

Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то, осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению