Вопрос 36

Понятие о весе измеренных величин. До сих пор мы рассматривали равноточные измерения, однако на прак­тике часто производятся неравноточные измерения.

неравноточнми называют измерения, выполненные в различных условиях, приборами различн6и~т0ЧносТИ, различным числом приемов и_т. д. В этом случае уже нельзя ограничиваться простым арифметическим средним, здесь надо учесть степень надеж­ности каждого результата измерений. Надежность результата, вы­раженная числом, называется его вес. Чем"надежнввтрвзультат, тем больше его вес. Следовательно, вес связан с точностью резуль­тата измерения, которая характеризуется средней квадратической погрешностью. Поэтому вес результата измерения принимают обратно пропорциональным квадрату средней квадратической погрешности.

По определению веса р его общее математическое выражение "мо-~Д жно записать в виде где с — некоторая постоянная величина — коэффициент пропорцио- / нальности, т — средняя квадратическая погрешность измерениями'Пусть имеется ряд равноточных измерений одной и той же величины. Окончательное значение измеренной величины обозначим через Х₀. Значение Х₀ получим, взяв арифметическое среднее из всех измерений. Разбив теперь этот ряд на n групп, образуем средние арифметические по группам. Полученные арифметические средние можно рассматривать как новые результаты измерений той же величины, но уже неравноточные. Таким образом, вместо первоначального ряда равноточных измерений для некоторой величины мы получили новый ряд неравноточных измерений L₁, L₂, …, L_n с весами р₁, р₂, …, р_n. По этим неравноточным измерениям уже нельзя определить арифметическое среднее L₀, так как измерение более точное должно оказывать и большее

влияние на окончательный результат L₀. Для решения этого вопроса используют формулу:

 

Это новое выражение для окончательного значения измеренной величины, полученное из неравноточных измерений по весам, называется весовым средним, или общим арифметическим средним. Его вес равен [p].

Общее арифметическое среднее из данных неравноточных измерений равно сумме произведений каждого измерения на его вес, разделенной на сумму весов.

Общая арифметическая середина является вероятнейшим значением измеряемой величины.

 Средння квадратическая погрешность единицы веса и весового среднего

В случае равноточных измерений для оценки точности данного ряда служит средняя квадратическая погрешность измерения. Для сравнения между собой однородных рядов неравноточных измерений определяют для каждого ряда среднюю квадратическую погрешность, имеющего весом единицу, или короче, погрешность единицы веса.

Пусть L₁, L₂,…, L_n – результаты неравноточных измерений какой-нибудь величины; р₁, р₂, …, р_n – веса и D ₁, D ₂, …, D _n – случайные погрешности этих измерений.

Из формулы (36) следует, что средняя квадратическая погрешность единицы веса в Ц p раз больше средней квадратической погрешности измерения, вес которого равен р.

На этом основании можно привести эти погршности к единице веса. Взяв D _1Ц р₁, D _2Ц р₂, …, D _nЦ р_n, получим ряд погрешностей одинакового веса, равного единице. Так как этот ряд обладает всеми свойствами случайных погрешностей равноточных измерений, то к нему применимы формулы Гаусса (4) и Бесселя (33). На основании этих формул в данном случае, т.е. для неравноточных измерений, соответственно получим:

 

где u - уклонения отдельных результатов измерений от общего арифметического среднего.

Средняя квадратическая ошибка общей арифметической середины определяется по формуле: