Вопросы и упражнения

1. Дайте определение декартовой системы координат.

2. Что такое вектор?

3. Какие векторы считаются равными?

4. Какие векторы называются линейно независимыми?

5. Как выразить длину вектора, используя операцию скалярного произведения?

6. Как определить косинус угла между векторами, используя операцию скалярного произведения?

7. Докажите, что векторное произведение удовлетворяет соотношению

8. Как из произвольного вектора получить единичный вектор, совпадающий с ним по направлению? (Эта операция называется нормировкой вектора).

9. Каково максимальное число линейно независимых векторов в пространстве?

10. Что такое орты?

11. Как построить параметрическое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости или пространства?

12. Докажите, что если в формуле (3.7) заменить координаты координатами любой другой точки плоскости, то уравнение будет описывать ту же самую плоскость. Указание: возьмите произвольную точку, удовлетворяющую уравнению (3.7), напишите новое уравнение плоскости и покажите, что любая точка второй плоскости принадлежит первой и наоборот.

13. В каких случаях луч с плоскостью не пересекаются?

14. В каких случаях луч пересекает сферу только в одной точке?

15. Исходя из определения умножения матрицы на вектор, докажите, что для любых двух векторов и любой матрицы справедливо соотношение

16. Докажите, что для любого вектора , числа и матрицы справедливо соотношение

17. При каком условии масштабирование сохраняет углы между отрезками?

18. Какую траекторию описывают точки объекта при повороте?

19. Вокруг чего осуществляется поворот на плоскости?

20. Вокруг чего осуществляется поворот в пространстве?

21. Какие шаги выполняются в алгоритме поворота относительно произвольной оси в пространстве?

22. Докажите, что если матрица является матрицей поворота, то .

Лекция №4 Введение в растеризацию кривых

Пусть у нас есть некоторая кривая, и мы хотим построить ее изображение на растровой решетке. Возникает вопрос: какие из ближайших пикселей следует закрашивать? В данной и следующей лекциях мы рассмотрим случай построения на монохромном растре, когда возможны только два уровня интенсивности закраски пикселя - "полностью закрашен" или "полностью не закрашен". Если же допустимы несколько уровней интенсивности, то можно растеризовывать более аккуратно, уменьшая эффекты алиасинга (т.е. ступенчатости).

Рис. 4.1. Изображение кривых на растре

Пусть (x₀, y₀) - фиксированный пиксель, а (x, y) - некоторый другой пиксель на плоскости. Тогда для определения их близости вводятся следующие понятия:

1. 4-связность |x-x0|+|y-y0|=1
2. 8-связность max{|x-x0|+|y-y0|}=1

В дальнейших рассуждениях расстояние будем считать заданным стандартной евклидовой метрикой.

Изображение отрезка с целочисленными координатами концов

Пусть наш отрезок - это AB. Перейдем от системы координат Oxy к Ax'y'. Отрезок может лежать в любом из 8 октантов, но всегда существуют симметрии относительно осей, разделяющих эти октанты, симметрии определяются матрицами

и

позволяющие свести задачу к случаю отрезка, лежащего в первом октанте (пример см. на рис. 4.2, этап 2, в нем матрица имеет вид

Назовем такой случай каноническим, в дальнейшем будут рассмотрены алгоритмы для этого случая. В каноническом случае процесс рисования 8-связной линии можно закодировать последовательностью вида: sdssd... (см. рис. 4.3), где

• s - горизонтальное смещение;

• d - диагональное смещение.

Рис. 4.2.  Переход к каноническому случаю в два этапа

Эквивалентно этой последовательности можно сопоставить бинарный код, где 0 соответствует s, а 1 соответствует d. Такой код для рисования отрезка называется кодом Ротштейна [46] для .Пусть plot(x,y) - функция, закрашивающая точку растра с координатами (x,y).

Рис. 4.3.  Кодирование закрашивания отрезка (или код Ротштейна).