- •153000 Г. Иваново, пр. Ф.Энгельса, 21
- •Лекция №1 Предмет и область применения компьютерной графики
- •1. Отображение информации
- •2. Проектирование
- •3. Моделирование
- •4. Графический пользовательский интерфейс
- •Краткая история
- •Технические средства поддержки компьютерной графики
- •Вопросы и упражнения
- •Лекция №2 о природе света и цвета
- •Цветовой график мко
- •Цветовые модели rgb и cmy
- •Цветовые модели hsv и hls
- •Пространство cie Luv
- •Вопросы и упражнения
- •Лекция №3 Геометрические преобразования Системы координат и векторы
- •Уравнения прямой и плоскости
- •Аналитическое представление кривых и поверхностей
- •Пересечение луча с плоскостью и сферой
- •Лекция №3 (продолжение) Интерполяция функций одной и двух переменных
- •Матрицы
- •Геометрические преобразования (перенос, масштабирование, вращение)
- •Переход в другую систему координат
- •Задача вращения относительно произвольной оси
- •Вопросы и упражнения
- •Лекция №4 Введение в растеризацию кривых
- •Изображение отрезка с целочисленными координатами концов
- •Цифровой дифференциальный анализатор
- •Алгоритм Брезенхема
- •Алгоритм Кастла-Питвея
- •Изображение отрезка с нецелочисленными координатами концов
- •Изображение окружностей
- •Алгоритм Брезенхема
- •Изображение эллипсов
- •Построение по неявной функции
- •Построение путем сжатия окружности
- •Лекция №5 Представление геометрической информации Геометрические примитивы
- •Полигональные модели
- •Воксельные модели
- •Поверхности свободных форм (функциональные модели)
- •Системы координат: мировая, объектная, наблюдателя и экранная
- •Однородные координаты. Задание геометрических преобразований в однородных координатах с помощью матриц
- •Вопросы и упражнения
- •Лекция №6 Отсечение (клиппирование) геометрических примитивов
- •Алгоритм Сазерленда-Коэна отсечения прямоугольной областью
- •Отсечение выпуклым многоугольником
- •Клиппирование многоугольников
- •Вопросы и упражнения
- •Лекция №7 Удаление невидимых поверхностей и линий
- •Удаление нелицевых граней многогранника Алгоритм Робертса
- •Алгоритм Варнока
- •Алгоритм Вейлера-Азертона
- •Метод z-буфера
- •Методы приоритетов (художника, плавающего горизонта)
- •Алгоритмы построчного сканирования для криволинейных поверхностей
- •Метод двоичного разбиения пространства
- •Метод трассировки лучей
- •Вопросы и упражнения
- •Лекция №8 Проецирование пространственных сцен Основные типы проекций
- •Параллельные проекции
- •Центральные проекции
- •Математический аппарат
- •Ортогональные проекции
- •Косоугольные проекции
- •Центральные проекции
- •Специальные картографические проекции. Экзотические проекции земной сферы
- •Стереографическая проекция
- •Гномоническая проекция
- •Ортографическая проекция
- •Проекции на цилиндр
- •Проекция Меркатора
- •Проекции на многогранник
- •Необычные проекции
- •Вопросы и упражнения
- •Лекция 9 Растровое преобразование графических примитивов
- •Алгоритм Брезенхема растровой дискретизации отрезка
- •Алгоритмы Брезенхема растровой дискретизации окружности и эллипса
- •Алгоритмы заполнения областей
- •Вопросы и упражнения
- •Лекция 10 Закрашивание. Рендеринг полигональных моделей
- •Простая модель освещения
- •Закраска граней Плоское закрашивание
- •Закраска методом Гуро
- •Закраска методом Фонга
- •Более сложные модели освещения
- •Устранение ступенчатости (антиэлайзинг)
- •Вопросы и упражнения
- •Лекция 11 Визуализация пространственных реалистических сцен Свето-теневой анализ
- •Метод излучательности
- •Глобальная модель освещения с трассировкой лучей
- •Текстуры
- •Вопросы и упражнения
- •Учебники к курсу
- •Список литературы
Лекция №3 (продолжение) Интерполяция функций одной и двух переменных
Помимо функций, заданных аналитически (т.е. с помощью элементарных функций, значения которых легко могут быть вычислены в любой точке области определения), на практике часто приходится иметь дело с таблично заданными функциями. В этом случае функция задается своими значениями на некотором дискретном множестве точек (узлов) из области определения. Если необходимо получить значение функции в какой-либо точке, не совпадающей с узлом, используют различные методы приближенного вычисления, которые основываются на некоторых априорных предположениях относительно этой функции. При этом сама процедура вычисления называется интерполяцией в случае, когда точка принадлежит заданной области, и экстраполяцией, если она лежит вне области.
В качестве предположений о характере дискретно заданной функции наиболее часто используемой и простой является то, что она кусочно-линейная, т.е. что в промежутках между узлами она ведет себя в соответствии с линейным законом. Тогда интерполяция называется линейной, и этот метод мы будем довольно часто применять в алгоритмах компьютерной графики.
Пусть на плоскости задана система координат и отрезок на оси , на концах которого заданы значения некоторой линейной функции (рис. 3.3). Тогда для любой точки внутри заданного отрезка соответствующее значение вычисляется по формулам
Рис. 3.3. Линейная интерполяция функции одной переменной
Обратимся теперь к задаче интерполяции функций двух переменных. В этом случае наиболее простой также является интерполяция по трем заданным точкам опять же с помощью кусочно-линейной функции. Пусть на плоскости задан треугольник с вершинами и заданы значения функции в этих точках . Тогда три точки определяют в пространстве треугольник, который является плоской фигурой. Предполагается, что площадь треугольника больше нуля, или, как говорят, треугольник невырожденный. Для определения значения функции в произвольной точке , лежащей внутри треугольника, воспользуемся так называемыми барицентрическими координатами этой точки. Геометрический смысл этих координат заключается в том, что они равны отношению площадей треугольников, изображенных на рис. 3.4:
Рис. 3.4. Линейная интерполяция функции двух переменных
Эти числа неотрицательны и удовлетворяют следующим соотношениям:
Эти соотношения будем рассматривать как уравнения для нахождения чисел .
Определитель этой системы уравнений есть
и он по модулю равен удвоенной площади треугольника, поэтому , следовательно, система имеет единственное решение при любой правой части. Воспользуемся формулами Крамера и выпишем вид этого решения:
где
После того как получены барицентрические координаты точки , значение функции в ней рассчитывается по формуле
Существуют хорошо разработанные методы гладкой интерполяции функций. Особенно часто при интерполяции кривых и поверхностей используются сплайн-функции, которые гладко "склеиваются" из полиномов. Среди них следует выделить кубические сплайны, которые строятся из полиномов третьей степени. Они широко используются в инженерной геометрии благодаря простоте их вычисления и другим полезным свойствам. Мы их рассмотрим подробнее в последующих главах.