- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Непрерывность функции, классификация точек разрыва
Определение 23. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:
1) функция y=f(x) определена в точке () и в ее окрестности;
2) существует ;
3) .
Если воспользоваться определением 19 предела функции по Коши, то определение непрерывной функции можно переписать в виде:
Введем обозначения: и назовем приращением аргумента х в точке , откуда ; и назовем приращением функции y=f(x) в точке . Очевидно, приращения и могут быть как положительными, так и отрицательными.
Из определения 23 с учетом введенных обозначений получаем еще одно определение непрерывности функции в точке.
Определение 24. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x= если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.
.
Из определения 23 и теоремы 8 следует, что функция y=f(x) является непрерывной в точке x=, если
Определение 25. Функция, непрерывная во всех точках множества X, называется непрерывной на этом множестве.
Сумма, произведение конечного числа непрерывных на некотором множестве X функций, есть непрерывные на этом множестве функции. Частное от деления двух непрерывных на некотором множестве X функций есть функция, непрерывная во всех точках этого множества, в которых делитель отличен от нуля.
Если y = f(u), – непрерывные функции своих аргументов, то сложная функция является непрерывной функцией независимой переменной х.
Если в точке x= условия определения 23 нарушены (т.е. функция f не определена в точке x=, или не существует, или ), то функция называется разрывной в точке x=, а точка – точкой разрыва.
Если x= – точка разрыва функции y=f(x), то справедлива следующая квалификация:
1. Точка называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные односторонние пределы, но , или .
Если , то точка называется еще точкой устранимого разрыва; если , то точка называется точкой конечного разрыва.
Величина называется скачком функции в точке разрыва первого рода.
2. Точка называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Все простейшие элементарные функции (,, , sin x, cos x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x) непрерывны в каждой точке своих областей определения.
Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
Определение производной. Геометрический и физический смысл производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Правила дифференцирования функций. Дифференцирование сложной и обратной функций. Таблица производных основных элементарных функций. Производная неявной и параметрически заданной функций.
Определение и геометрический смысл дифференциала, приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Производные высших порядков явно заданной функции, неявно и параметрически заданной функций. Дифференциалы высших порядков.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Формула Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
Исследование функций с помощью производных: условия возрастания и убывания функции. Понятие экстремума. Выпуклость графика функции и точки перегиба. Асимптоты графика функции.
Применение производных в экономике.