- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Определение функции нескольких переменных. Область определения
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x, y).
Определение 1. Соответствие f, которое каждой паре чисел (x, y)D сопоставляет одно и только одно число zR, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается в виде z=f(x, y) или .
Величины x и y называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией). Множество D=D (f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z, называется областью изменения функции и обозначается E(f) или Е.
Функцию z=f(x, y), где (x, y)D можно рассматривать как функцию точки М(x, y) координатной плоскости Oxy. Тогда под областью определения функции z понимается совокупность точек плоскости Oxy, в которых данная функция z существует, т.е. принимает определенные действительные значения. Для характеристики области D проще всего указать, какая фигура на плоскости Oxy заполняется соответствующими точками.
Функция z=f(x, y) двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование: каждой точке области D в системе координат Oxyz соответствует точка , где – аппликата точки . Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z=f(x, y).
Обобщая функцию двух переменных перейдем к понятию функции от n переменных.
Рассмотрим точку n-мерного евклидова пространства .
Определение 2. Соответствие f, которое каждой точке евклидова пространства сопоставляет некоторое число , называется функцией точки и обозначается u = f(M).
Замечание. Всякая функция нескольких переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать.
В качестве примера функций нескольких переменных рассмотрим следующие функции:
1. Функция Кобба–Дугласа
Для двух переменных она имеет вид: .
С помощью функций Кобба–Дугласа строят производственные функции, выражающие результат производственной деятельности в зависимости от различных факторов .
2. Функция полезности для многомерного случая – это функция , выражающая полезность от n приобретенных товаров. Чаще всего встречаются следующие ее виды:
a) где – логарифмическая функция;
б) где . Такая функция называется функцией постоянной эластичности.
Линии уровня
Определение 3. Линией уровня функции z = f(x; y) называется множество всех точек плоскости Oxy, в которых функция z принимает постоянное значение, то есть f(x; y) = С, где С – постоянная.
Число С в этом случае называется уровнем.
Линия уровня может быть получена при пересечении графика функции z=f(x, y) с плоскостью z=С, параллельной плоскости Oxy. Затем эту линию следует спроектировать на плоскость Oxy.
Предел функции нескольких переменных
Определение 4. окрестностью точки называется круг радиуса , содержащим точку внутри себя.
На плоскости Oxy введем расстояние между точками и :
Тогда условие нахождения точки M внутри круга радиуса является выполнение неравенства .
Определение 5. Число а называется пределом функции z = f(x; y) при (или в точке ), если любого для числа найдется число , такое, что для всех точек отличных от точки и отстоящих от этой точки на расстояние , выполняется неравенство .
Обозначается: