- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Основные свойства определенного интеграла
1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:
.
2. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:
.
3. Определенный интеграл зависит только от величины нижнего и верхнего пределов интегрирования и от вида подынтегральной функции, он не зависит от переменной интегрирования. Поэтому величина определенного интеграла не изменится, если переменную x заменить любой другой переменной:
4. Если , то
5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
6. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
7. Для любых чисел a, b и c имеет место равенство:
8. Если , то , т. е. неравенство можно интегрировать.
9. Если функция непрерывна и ограничена на отрезке [a, b], т. е. , то
10. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то существует такая точка , что
т. е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке c отрезка интегрирования [a, b] и длины b–a этого отрезка.
Это значение функции называется средним значением на отрезке [a, b].
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Ранее мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования а и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний x изменять так, чтобы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида
называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела x.
Найдем производную от Ф(x) по x, т. е. производную определенного интеграла по верхнему пределу.
Теорема 4. Производная определенного интеграла от непрерывной функции по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:
Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
Формула Ньютона – Лейбница
Теорема 5. Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b], а функция F(x) есть одна из первообразных на этом отрезке. Тогда имеет место формула
. (6)
Равенство (6) называется формулой Ньютона – Лейбница.
Если ввести обозначение , тогда формула (6) примет вид:
Формула (6) позволяет избавиться от вычисления определенных интегралов как пределов интегральных сумм, и дает удобный способ их вычисления. Чтобы вычислить неопределенный интеграл от непрерывной функции на отрезке [a, b], надо найти первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка [a, b].
Основные методы вычисления определенного интеграла
1. Вычисление интегралов с помощью Ньютона – Лейбница.
Если F(x) – одна из первообразных непрерывной на [a, b] функции f(x), то справедлива формула Ньютона – Лейбница
Эта формула позволяет свести вычисление определенного интеграла к вычислению неопределенного.
2. Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле.
Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.
Теорема 6. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция и ее производная непрерывны на отрезке , причем и , то справедлива формула
(7)
Формула (7) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Для вычисления определенного интеграла по этой формуле необходимо сделать замену , вычислить , где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция, найти пределы интегрирования по t, решив уравнения .
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Теорема 7. Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то имеет место формула
(8)
Формула (8) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.