- •Корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов
- •Элементы квантовой механики
- •Квантовая теория свободных электронов в металле
- •Введение в теорию твердых тел
- •Основы физики лазеров
- •Элементы физики ядра и элементарных частиц
- •§ 1. Краткие исторические сведения
- •§ 2. Тепловое излучение
- •§ 3. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа.
- •Итоги лекции n 1
- •Лекция n 2 Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка. Закон Стефана-Больцмана, закон Вина § 1. Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка
- •§ 2. Закон Стефана-Больцмана и закон Вина
- •Итоги лекции n 2
- •Лекция n 3 Проблема фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта § 1. Проблема фотоэффекта
- •§ 2. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
- •Итоги лекции n 3
- •Лекция n 4 Боровская теория атома водорода Спектр излучения атома водорода в теории Бора § 1. Боровская теория атома водорода
- •Первый постулат Бора:
- •Второй постулат Бора:
- •§ 2. Спектры излучения атома водорода в теории Бора
- •Итоги лекции n 4
- •Корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов
- •Лекция n 5 Свойства фотонов. Вероятностная интерпретация плотности энергии и интенсивности электромагнитной волны
- •§ 1. Свойства фотонов
- •2. Масса фотона
- •3. Энергия фотона
- •§ 2. Неделимость фотона
- •§ 3. Интерференция одиночных фотонов
- •§ 4. Вероятностная интерпретация плотности энергии и интенсивности электромагнитной волны
- •Итоги лекции n 5
- •§ 1. Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов
- •Лекция n 6 § 2. Дифракция одиночных электронов
- •§ 3. Волновая функция и волна де Бройля
- •§ 4. Соотношения неопределенностей
- •Итоги лекции n 6
- •§ 2. Понятия об операторах физических величин
- •§ 3. Решение уравнения Шредингера для простейших случаев: свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
- •§ 2. Квантовые числа
- •§ 3. Спектры атома водорода в теории Шредингера
- •§ 4. Волновая функция основного состояния атома водорода
- •Итоги лекции n 8
- •§ 2. Физические основы периодической системы элементов д. И. Менделеева
- •§ 3. Молекула
- •§ 4. Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов
- •Итоги лекции n 9
- •§ 1. Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой ямы
- •§ 2. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы
- •Итоги лекции n 10
- •Элементы квантовой статистики
- •Лекция n 11
- •§2. Анализ функции f(e)
- •Итоги лекции n 11
- •Лекция n 12 Результаты квантовой теории электропроводности. Термоэлектронная эмиссия. Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна § 1. Результаты квантовой теории электропроводности металла
- •§ 2. Термоэлектронная эмиссия
- •§ 3. Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна
- •Итоги лекции n 12
- •§ 2. Диэлектрики и полупроводники
- •§ 3. Собственная проводимость полупроводников
- •§ 2. Акцепторные примеси. Полупроводники p-типа
- •§ 3. Электронно-дырочный переход. Полупроводниковый диод
- •§ 4. Полупроводниковый триод - транзистор
- •Основы физики лазеров лекция n 15
- •§ 1. Вводные сведения
- •§ 2. Вынужденное (стимулированное) излучение
- •§ 3. Состояние с инверсией населенности
- •§ 4. Оптический резонатор
- •§ 5. Способы создания инверсии населенности
- •§ 6. Виды лазеров и их применение
- •§ 2. Дефект массы и энергия связи атомного ядра. Ядерные силы
- •§ 1. Некоторые сведения из истории открытия деления ядра урана
- •§ 2. Цепная ядерная реакция. Ядерная бомба
- •§ 3. Ядерный реактор
- •§ 4. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций
- •Итоги лекции n 17
- •§ 1. Радиоактивность. Историческое введение
- •§ 2. Закон радиоактивного распада
- •§ 3. Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом
- •§ 4. Методы регистрации ионизирующих излучений
- •Итоги лекции n 18
§2. Анализ функции f(e)
Выпишем функцию распределения Ферми-Дирака в следующем виде:
Нетрудно убедиться, что при E = EF функция f(E) = 1/2.
Поведение функции f(E) (и электронного газа в металле) зависит от соотношения между температурой металла T и температурой Ферми (10.11).
При T << TF (т.е. kT << EF) электронный газ называют вырожденным и график функции f(E) незначительно отличается от ступени. В самом деле, показатель экспоненты (E - EF) / kT будет велик по модулю всюду, за исключением интервала энергий, в котором (E - EF) ≤ kT. При этом, если E < EF, то (E - EF) / kT будет величиной отрицательной и большой по модулю, значит экспонента будет близка к нулю, а f(E) ≈ 1. В случае, если E > EF, показатель экспоненты будет большой положительной величиной и f(E) ≈ 0.
Запишем результаты анализа в следующем виде:
Из оценок, сделанных в § 2 лекция 10, TF ≈ 60000K, значит вплоть до Tпл - температуры плавления металлов, электронный газ вырожден (самый тугоплавкий металл, вольфрам, имеет Tпл ≈ 3693K).
При T >> TF электронный газ называется невырожденным. В этом случае график функции f(E) идет полого спадая и уже совсем не похож на ступеньку.
На рисунке 11.2 приведены графики функции f(E) (11.4) для различных температур.
Рис. 11.2
При больших значениях энергии электронов, таких, что E - EF >> kT, единицей в знаменателе функции f(E) (11.4) можно пренебречь, тогда для "хвоста" функции f(E) справедлива следующая формула:
что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана (см. Ч. 3, (2.14)).
Итоги лекции n 11
-
Зависимость среднего числа фермионов в одном квантовом состоянии <n(Ei)> от их энергии и температуры называется распределением Ферми-Дирака (см. (11.1)):
здесь ЕF - уровень Ферми, параметр распределения, который определяют из условия нормировки. Другое название этого параметра - химический потенциал, который принято обозначать греческой буквой µ, т.е. EF ≡ µ.
-
При не очень высоких температурах, когда kT<<EF для уровня Ферми справедливо приближенное выражение (см. (11.3)):
здесь EF(0) - энергия Ферми.
-
Так как среднее число фермионов в одном квантовом состоянии изменяется от 0 до 1, т.е. в тех же пределах, что и вероятность f(Ei) заполнения данных квантовых состояний, то для f(Ei) справедлива формула (11.1а), аналогичная формуле (11.1):
-
Анализ функции f(E) при Т=0 К дает следующие результаты:
-
При больших значениях энергии электронов, таких, что Е-ЕF>>kT, для "хвоста" функции f(Е) справедлива формула (11.5):
что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана.
Лекция n 12 Результаты квантовой теории электропроводности. Термоэлектронная эмиссия. Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна § 1. Результаты квантовой теории электропроводности металла
В Ч. 4 настоящего курса была приведена формула (6.9) для σ - удельной проводимости, полученная П. Друде в рамках классической теории электропроводности:
Из распределения Максвелла следует, что средняя скорость движения электрона в металле <v> пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры, т.е. . В результате из классической теории электропроводности следует, что , тогда как опыт дает (см. Ч. 4, § 6).
Квантовая теория электропроводности дает для s следующую формулу:
В этой формуле m* - эффективная масса электрона, которая учитывает влияние сил, действующих на электрон со стороны ионных остовов кристаллической решетки.
Скорость vF с большой точностью можно считать независящей от температуры, таким образом температурная зависимость проводимости σ определяется зависимостью от температуры длины свободного пробега λ. Зависимость λ(T) обусловлена, в основном, тепловыми колебаниями атомов кристалла и при не очень низких температурах (T ≥ 100K) эта зависимость линейна, т.е. λ ~ T. Это и приводит к линейной зависимости удельного сопротивления от температуры, т.е.: