Образец выполнения лабораторной работы № 7
(Интерполирование функций)
Дана функция
своими значениями
,
где
,
.
Найти интерполирующую функцию
определенного класса
,
такую что
,
для
.
Задача интерполяции
заключается в нахождении значения
функции
при
,
для чего полагают, что
.
А) Рассмотрим решение задачи интерполяции для функции заданной таблично, используя метод Лагранжа для не равноотстоящих узлов.
|
|
0,200000 |
0,306000 |
0,468180 |
0,716315 |
1,095963 |
1,676823 |
2,565539 |
|
|
1,020067 |
1,047184 |
1,111613 |
1,267713 |
1,663140 |
2,767751 |
6,542271 |
Найти
,
при
.
|
|
0,200000 |
0,306000 |
0,468180 |
0,716315 |
1,095963 |
1,676823 |
2,565539 |
|
|
1,020067 |
1,047184 |
1,111613 |
1,267713 |
1,663140 |
2,767751 |
6,542271 |
-
2,10
Замечание. В дальнейшем промежуточные значения будут представлены в тексте с четырьмя знаками после запятой, хотя все вычисления будут проводиться с шестью знаками после запятой.
-
1,9000
1,7940
1,6318
1,3837
1,0040
0,4232
-0,4655
Таблица
разностей
|
|
0,2000 |
0,3060 |
0,4682 |
0,7163 |
1,0960 |
1,6768 |
2,5655 |
|
0,2000 |
1 |
0,1060 |
0,2682 |
0,5163 |
0,8960 |
1,4768 |
2,3655 |
|
0,3060 |
-0,1060 |
1 |
0,1622 |
0,4103 |
0,7900 |
1,3708 |
2,2595 |
|
0,4682 |
-0,2682 |
-0,1622 |
1 |
0,2481 |
0,6278 |
1,2086 |
2,0974 |
|
0,7163 |
-0,5163 |
-0,4103 |
-0,2481 |
1 |
0,3796 |
0,9605 |
1,8492 |
|
1,0960 |
-0,8960 |
-0,7900 |
-0,6278 |
-0,3796 |
1 |
0,5809 |
1,4696 |
|
1,6768 |
-1,4768 |
-1,3708 |
-1,2086 |
-0,9605 |
-0,5809 |
1 |
0,8887 |
|
2,5655 |
-2,3655 |
-2,2595 |
-2,0974 |
-1,8492 |
-1,4696 |
-0,8887 |
1 |
Таблица значений
|
|
|
|
||||||
|
1 |
-16,9245 |
-6,0848 |
-2,6799 |
-1,1206 |
-0,2865 |
0,1968 |
-17,4407090 |
-17,7906917 |
|
-17,9245 |
1 |
-10,0618 |
-3,3723 |
-1,2710 |
-0,3087 |
0,2060 |
49,1657194 |
51,4855547 |
|
-7,0848 |
11,0618 |
1 |
-5,5763 |
-1,5993 |
-0,3501 |
0,2220 |
-54,3186589 |
-60,3813274 |
|
-3,6799 |
4,3723 |
6,5763 |
1 |
-2,6447 |
-0,4406 |
0,2517 |
31,0373295 |
39,3464261 |
|
-2,1206 |
2,2710 |
2,5993 |
3,6447 |
1 |
-0,7285 |
0,3168 |
-10,5296185 |
-17,5122296 |
|
-1,2865 |
1,3087 |
1,3501 |
1,4406 |
1,7285 |
1 |
0,5238 |
2,9651590 |
8,2068217 |
|
-0,8032 |
0,7940 |
0,7780 |
0,7483 |
0,6832 |
0,4762 |
1 |
0,1207786 |
0,7901663 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4,1447200 |
|
Оценка погрешности
приближения
.
Оценим погрешность
приближения с помощью выражения
,
.
Одним из возможных способов оценки
погрешности является способ сведения
задачи интерполяции в не равноотстоящих
точках к задаче на равноотстоящих
точках, что позволит оценить
с помощью выражения
.
Для этого необходимо найти конечные
разности в равноотстоящих узлах
,
,
,
.
С помощью интерполирующего многочлена
Лагранжа найдем
,
,
затем составим конечные разности:
|
|
0,2000 |
0,5943 |
0,9885 |
1,3828 |
1,7770 |
2,1713 |
2,5655 |
|
|
1,0201 |
1,1819 |
1,5297 |
2,1184 |
3,0407 |
4,4423 |
6,5423 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0201 |
0,1618 |
0,1860 |
0,0549 |
0,0378 |
0,0152 |
0,0052 |
|
1,1819 |
0,3478 |
0,2409 |
0,0927 |
0,0530 |
0,0204 |
|
|
1,5297 |
0,5887 |
0,3336 |
0,1457 |
0,0734 |
|
|
|
2,1184 |
0,9223 |
0,4793 |
0,2191 |
|
|
|
|
3,0407 |
1,4016 |
0,6984 |
|
|
|
|
|
4,4423 |
2,1000 |
|
|
|
|
|
|
6,5423 |
|
|
|
|
|
|
Если обозначить
через
,
где
,
то
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1,1808 |
-0,1808 |
0,8192 |
1,8192 |
2,8192 |
3,8192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,00002474 |
Получим решение:
,
0,00002474.
Определим число
верных знаков. Так
как
0,00005,
то
.
После округления получим
,
,
.
Так как
,
то
.
Следовательно в полученном результате
все знаки верные.
Ответ:
.