Краткая теория к лабораторным и контрольным работам Приближенное решение нелинейного уравнения

1. Метод половинного деления.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывна для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью , а так же необходимое для этого число разбиений отрезка .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

, ,

где , удовлетворяет условиям , ; из последнего определяется число разбиений отрезка .

2. Метод хорд.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

если на , то , , ;

если на , то , , .

Приближенное решение и погрешность приближения :

, .

3. Метод Ньютона (метод касательных).

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

, ;

если на , то ;

если на , то .

Приближенное решение и погрешность приближения :

, .

4. Метод итерации.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение, где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

• уравнение приводится к виду , где функция удовлетворяет условиям: , дифференцируема на данном отрезке и ;

• строится итерационная последовательность вида , , где выбирается произвольно из данного отрезка, например, ;

• полагая приближенное значение корня , для погрешности получим , а так как по условию , то итерационный процесс продолжим до выполнения условия , при этом приближенное значение корня определяется как .

Приближенное решение и погрешность приближения :

, .

5. Метод хорд и касательных.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение, где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

если на , то

, , ;

, , ;

если на , то

, , ;

, , .

Приближенное решение и погрешность приближения :

, .

Лабораторная работа № 1

Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно .

2) Уточнить корни (все!) уравнения методом половинного деления с точностью , указать число разбиений отрезка.

Вопросы самоконтроля.

1. Как отделяются корни уравнения?

2. Какой должна быть величина шага при отделении корней?

3. Какие условия должны быть выполнены для применения метода половинного деления отрезка?

4. Какова идея метода половинного деления отрезка? Геометрическая иллюстрация.

5. Как вычисляется приближенный корень уравнения и какова его погрешность?

6. Как зависит погрешность результата от выбора приближенного решения?

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. ;

31. ;

32. ;

33. ;

34. ;

35. ;

36. ;

37. ;

38. ;

39. ;

40. ;

41. ;

42. ;

43. ;

44. ;

45. ;

46. ;

47. ;

48. ;

49. ;

50. ;

51. ;

52. ;

53. ;

54. ;

55. ;

56. ;

57. ;

58. ;

59. ;

60. .