- •Введение
- •Часть 1 пособия включает 10 девять разделов.
- •1. Моделирование и экономическая деятельность
- •Философия создания правильно построенных экономических систем
- •2. Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем
- •2.1. Элементарные понятия о случайных событиях, величинах и функциях
- •Числовые характеристики случайных величин
- •2.3. Статистическая оценка законов распределения случайных величин
- •Вариационный ряд часовой выработки автомобиля
- •2.4. Основные законы распределения случайных величин
- •Дискретные законы распределения
- •2.5. Выбор теоретического закона распределения случайной величины
- •Сравнительная таблица
- •3. Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов
- •3.1. Основные понятия марковских процессов
- •3.2. Марковские цепи
- •3.3. Непрерывные цепи Маркова
- •Финальные вероятности состояний
- •Необходимые и достаточные условия существования финальных вероятностей
- •3.4. Моделирование работы подвижного состава с использованием марковских случайных процессов
- •4. Моделирование систем массового обслуживания
- •4.1. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания
- •4.2. Определение характеристик систем массового обслуживания. Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания
- •Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания
- •Модель обслуживания машинного парка
- •5. Статистическое моделирование экономических систем
- •5.1. Теоретические основы метода
- •Формулы для моделирования случайных величин
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Понятие о моделировании случайных функций
- •5.2. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
- •Методику решения задачи рассмотрим на примере моделирования смо с отказами.
- •5.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем
- •Решение
- •6.Методы и модели корреляционно-регрессионного анализа
- •6.1. Общие сведения
- •Выборочные уравнения регрессии
- •Линейная регрессия
- •Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа
- •6.2. Исходные предпосылки регрессионного анализа и свойства оценок
- •6.3. Этапы построения многофакторной корреляционно-регрессионной модели
- •1. Априорное исследование экономической проблемы.
- •2. Формирование перечня факторов и их логический анализ.
- •3. Сбор исходных данных и их первичная обработка.
- •4. Спецификация функции регрессии.
- •5. Оценка функции регрессии.
- •6. Отбор главных факторов.
- •7. Методы и модели прогнозирования временных рядов экономических показателей
- •7.1. Основные положения и понятия в прогнозировании временных рядов
- •7.2. Характеристика методов и моделей прогнозирования показателей работы предприятий
- •7.3. Прогнозирование с помощью методов экстраполяции
- •1. Установление цели и задачи исследования, анализ объекта прогнозирования.
- •2. Подготовка исходных данных.
- •3. Фильтрация исходного временного ряда.
- •4. Логический отбор видов аппроксимирующей функции.
- •Оценка математической модели прогнозирования
- •Выбор математической модели прогнозирования
- •8.Оптимизационные методы и модели в управлении экономическими системами Линейное программирование
- •8.1. Задачи линейного программирования
2.3. Статистическая оценка законов распределения случайных величин
Эмпирические ряды распределения, получаемые при обработке первичных статистических данных, оформляются в таблицах или изображаются графически посредством геометрических образов — точек, линий и фигур в различных сочетаниях. Построение эмпирических графиков и диаграмм позволяет установить на первом этапе исследования, к какому типу теоретических распределений ближе всего полученное эмпирическое распределение, что облегчает выбор конкретных технических приемов обработки исходных данных.
Для применения Графического метода анализа распределений необходимо знать, как строить графики распределения, какие существуют типы распределений и какими свойствами обладают теоретические распределения.
Покажем, каким образом производится обработка статистического материала для нахождения законов распределения случайной величины. Для этого будем рассматривать некоторую случайную величину X. При функционировании экономической системы или ее элемента в течение некоторого времени t случайная величина X может принять п определенных значений. Совокупность этих случайных значений случайной величины в математической статистике называется статистической выборкой объема п. Если расположить отдельные значения случайной величины X в возрастающем или убывающем порядке и указать относительно каждого значения, как часто оно встречалось в данной совокупности, то получится эмпирическое распределение случайной величины, или вариационный ряд, на основании которого определяются аналитическая форма неизвестной плотности вероятности f(х), функция распределения F(x) и оцениваются входящие в нее параметры.
Рассмотрим подробнее процедуру построения вариационного ряда.
Весь диапазон значений непрерывной случайной величины X разбивается на интервалы. Далее подсчитывается количество значений случайной величины X, приходящейся на каждый интервал, и определяется частота ее попадания в данный интервал по формуле:
(2.36)
Если случайная величина X, принимает значение, попадающее на границу i-го и (i + 1)-го интервалов, то это значение учитывается в числе попаданий в (i + 1)-й интервал.
Определив таким образом частоты попадания случайной величины X в каждый интервал, получим вариационный (статистический) ряд, который представляют в виде таблицы:
Интервал |
|
|
…. |
|
… |
|
Частота |
|
|
….. |
|
… |
|
Оптимальная длина интервала определяется по формуле:
(2.37)
где — размах вариации случайной величины X.
Число интервалов будет равно:
(2.38)
Если k не целое число, то в качестве числа интервалов надо взять ближайшее к k целое число, не меньшее k.
Вариационные ряды могут быть изображены графически в виде полигона распределения и гистограммы.
Полигон распределения представляет собой многоугольник, который строится на прямоугольной координатной сетке следующим образом. В выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для фактических значений случайной величины X, на оси ординат— для частот (рис. 2.2). Пользуясь этими шкалами, наносят точки с координатами и . Точки соединяют ломаной линией .Крайние точки и если они не лежат на оси Ох соединяют также со смежными точками соответственно и на оси абсцисс. Полученный таким образом многоугольник является полигоном распределения.
Рис. 2.2. Полигон распределения реализаций случайной величины X
Полигоны распределения чаще всего применяются для изображения дискретных вариационных рядов.
Гистограмма распределения реализаций случайной величины применяется для графического изображения интервальных рядов распределения. Она представляет собой многоугольник, построенный с помощью смежных прямоугольников. В случае непрерывных Равных интервалов с шириной интервала х гистограмма строится следующим образом (рис. 2.3).
Рис.2.3. Гистограмма распределения
В выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для реализаций случайной величины X, на оси ординат — величины .ользуясь этими шкалами, строят прямоугольники ABCD, DEFG, ..., основания которых соответствуют ширине интервала х, а высоты равны отношениям Многоугольник ABCEF... QORJA и является гистограммой распределения.
Гистограммы чаще всего применяются для изображения вариационных рядов с непрерывными значениями случайной величины X. При уменьшении величины каждого интервала гистограмма будет приближаться к некоторой плавной кривой, соответствующей графику функции плотности распределения случайной величины X. Следовательно, в результате построения гистограммы можно получить представление о дифференциальном законе распределения случайной величины X.
Эмпирическая (статистическая) функция распределения строится следующим образом. Над каждым отрезком оси абсцисс (х), изображающим расстояние между концами интервалов, проводится отрезок горизонтальной прямой на уровне ординаты, равной величине накопленной частоты; концы горизонтальных отрезков соединяются вертикальными линиями.
Статистическая функция распределения F*(X) представляет собой частоту событий X < х в данной выборке:
(2.39)
где x – текущая переменная
p – частота, или статическая вероятность события.
Неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше х.
Значения при данном значении определяется по формуле:
(2,40)
где число опытов, при которых X <.
При неограниченном увеличении числа опытов (наблюдений) п, согласно теореме Я. Бернулли, при любом частота события р*(Х < ) приближается (сходится по вероятности) к вероятности этого события. Следовательно, если X — непрерывная величина, то при увеличении n график функции F*(x) приближается к плавной кривой F(x) — интегральной функции распределения величины X.
Таким образом, графическое изображение рядов распределения даёт возможность более наглядно представить эмпирическое распределение реализаций случайной величины и выразить закономерность ее распределения путем построения статистической интегральной функции распределения.
Пример 2.1. Построить гистограмму и статистическую функцию распределения часовой выработки подвижного состава автопредприятия.
Значения часовой выработки получены в ходе наблюдения за работой автомобилей-самосвалов КамАЗ-5511 в течение календарного года. Объем выборки составил n = 100 наблюдений. Размах вариации равен:
Величина интервала вариационного ряда определена по формуле (2.37):
Количество интервалов вариационного ряда равно:
Вариационный ряд часовой выработки автомобиля представлен в табл.2.1.
Таблица 2.1.