39.Косячный!!!Определение предела функции и его свойства.

Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.

Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство |f(x) - b|<ε.

x→a

В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b.

(lim – сокращенное слово limit(предел)).

Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.

При отыскании предела мы не учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым.

1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.

х→а

х→а

х→а

lim (f(x) + φ(x)) = lim f(x) + lim φ(x)

2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.

х→а

х→а

х→а

lim [f(x) * φ(x)] = lim f(x) * lim φ(x)

3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.

х→а

х→а

lim С*f(x) = С *lim f(x)

Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела.

4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).

х→а

х→а

х→а

х→а

lim f(x) / φ(x) = lim f(x) / lim φ(x), limφ(х)≠0.

№ 40 Теорема о сущности пределов

Теорема 1. если числовая последовательность Аn монотонна и ограниченна, то она имеет предел . возможны два случая а) последовательность неубывающая и ограничена сверху б) последовательность невозрастающая и ограничена снизу

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки х нулевое (или при достаточно больших значениях х) функция эф от икс заключена между двумя функциями фи от икс и пси от икс, имеющих одинаковый предел А при х ->x0 то функция эф от икс имеет тот же предел А.

№ 41 Предел функции в бесконечности.

Предел функции в бесконечности. С понятием предела числовой последовательности а n = f(n) тесно связано понятие предела функции у = f(х) в бесконечности. Если в первом случае переменная n, возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная х , изменяясь, принимает любые значения..

Определение. Число А называется пределом функции у = f(х) при х , стремящимся к бесконечности, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число S>0 ( зависящее от ε ; S=S(ε)) , что для всех х, таких, что >S, верно неравенство:

< ε

(6.3)Этот предел функции обозначается limf(x) = A при х -> бесконечности,или f(x)->A при x-> бесконечности. Смысл определения остается тем же, что для предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине)

Выясним геометрический смысл предела функции у = f(х) в бесконечности. Неравенство 6.3

< ε равносильно двойному неравенству А-е <f(x)<A+e ,соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2е (рис.6.3.)

Итак, число А есть предел функции у=f(x) при x->бесконечности, если для любого e>0

Найдется такое число S>0, что для всех х, таких что >S, соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе А-е меньше у меньше А+е, какой бы узкой эта полоса не была.

Билет 42 Основные теоремы о пределах

Предположим, что все данные величины (слагаемое, сомножители, делимое и делитель) зависят от одного и того же аргумента х и обладают конечными пределами (при x →a). Обозначим так же некоторые функции y₁ = f₁(x), y₂ = f₂(x), ...., y_n = f_n(x). Тогда: Теорема 1Предел суммы неизменного числа слагаемых равен сумме пределов отдельных слагаемых.

Теорема 2Предел произведения неизменного числа сомножителей равен произведению их пределов.

Теорема 3Постоянный множитель можно вынести за знак предела. Теорема 4Предел частного равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю.

Например, f(x) = (x²-4)/(x-2) - оба односторонних предела в точке х = 2 равны 4. Но в самой точке х = 2 функция неопределенна и потому разрывна. График этой функции есть прямая y = x+2, с "выколотой" точкой М(2,4). (Точка разрыва второго рода.)Теорема 5. Если функция f(x) имеет конечный предел при ха, то она ограничена вблизи точки х = а. Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

 или

, т.е.

где М =  + А

билет43 теорема о сжатой переменной

теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥) Док-во: 1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N2 |Xn-a|a-E =>  lim Zn=a (n®¥)Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Билет 44 теорема о предельном переходе сложной функции!Теорема о пределе сложной функции.

Пусть существует lim (x->x0) g(x)=y0 и существует lim (y->y0) f(y)=A, и кроме того существует проколотая окрестность точки х0, в которой g(x) <> y0. Тогда существует lim (x->x0) f(g(x)) = lim (y->y0) f(y)=A (точно не знаю правильная та ли это теорема,но по идеи больше ничего не накопать)

№45 1й замечат предел

В этих нер-вах перейдем к переделу

;тогда по т.о сжатой переменной

IV четверть

Чтд.

№46 Второй замечат предел

Докажем что будет выполняться для любого

Док-во:

Пусть ,тогда для любого x ,такой что

Тогда

Пусть

Следствия:

47.Бесконечно малые(б.м)и бесконечно большие(б.б)величины. Отношения порядка (малости) величин. Функция В(х)наз. Б.м.в при (х) х стремится хо(где х стрем.к бесконечности),если limB(x)=o(x стрем. хо).Б.Б.В:функция F(x) наз.бесконечно большой при х стрем. Хо(x стрем.к бесконечности),если для каждого сколь угодно боьшого числа М>0найдется такое положительное число б(М)>0 (зависящие от М),что для всех х не равно хо,удовлетворяющих условию (х-хо)<0,будет верно неравенство F(x)>M. Отношение порядка б.м.в.:Пусть L1(x)и L2(x)суть две б.м.в при х стрем. хо(х стрем. к бесконечности).Тогда:1)если lim L2(x)/ lim L1(x)=0,то L2(x)наз.б.м.в.высшого порядка(малости),чем L1(х)и пишут L2=0(L1) (х стрем.хо)2)Если lim L2(x)/L1(x)=А не равно 0,то L1(x)наз. Б.м.в. того те порядка(малости),что и L2(x)и пишут:L2=0(L1)(x стрем. хо)

31. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.

Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство |f(x) - b|<ε.

x→a

В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b.

(lim – сокращенное слово limit(предел)).

Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.При отыскании предела мы не учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a).

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.Для раскрытия неопределенностей используются так называемые замечательные пределы.