26.Уравнение плоскости в пространстве,различные виды.

1)Нормальное ур-е плоскости: x(Cos ) +y(Cos )+z(Cos )+=0, где Cos , Cos , Cos -направляющие Cos –сы нормального вектора; -расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель.2) Существуют следующие виды ур-ий прямой в пространстве: 1)Общее ур-е прямой: прямая задаётся как линия пересечения 2-х плоскостей.

A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0, где А1, В1,С1-непропорциональные коэффициентам А2, В2, С2.

2)Ур-е прямой, проходящей через две точки (выводится аналогично ур-ю прямой на плоскости):

x-x2/x2-x1=y-y2/y2-y1=z-z2/z2-z1.

3)Каноническое уравнение прямой в пространстве (ур-е прямой, проходящей ч/з заданную точку М0 (x0;y0;z0), параллельно направляющему вектору q (l;m;n)):

x-x₀/l=y-y₀/m=z-z₀/n.

4)Параметрическое ур-е прямой: прямая задаётся при помощи точки, лежащей на прямой, и направляющего вектора. М₀(x0;y0;z0), q (l;m;n). x=x0+lt

y=y0+mt

 z=z0+nt, t-параметр.

5)Угол между 2-мя прямыми в пространстве – это, практически, угол между их направляющими векторами:

Cos=L1L2+m1m2+n1n2/ L₁² +m₁²+n₁²  L₂²+m₂²+n₂² .

27 билет. Уравнение прямой в пространстве и угол между прямыми. Аксиома: Если 2 плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки данных плоскостей. Множество точек на прямой в пространстве должны удовлетворять системе уравнений: A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0(1) 1- общее уравнение прямой в пространстве. Пусть заданы точки на прямой M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) и произвольная точка М(x,y,z,) Тогда векторы будут иметь координаты M1M(x-x1,y-y1,z-z1), M2M1(x2-x1,y2-y1,z2-z1); Они коллинеарны, поэтому: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1).(2) 2- уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Пусть вектор p(m,n,k) будет параллелен вектору М1М, тогда уравнение примет вид: (х-х1)/m=(y-y1)/n=(z-z1)/k(3) 3- каноническое уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве: Запишем уравнения в каноническом виде: (х-х1)/m1=(y-y1)/n1=(z-z1)/k1 (x2-x1)/m2=(y2-y1)/n2=(z2-z1)/k2 Взаимное расположение прямых будет определяться взаимным расположением направляющих векторов: Прямые будут параллельны, если: m1/m2=n1/n2=z1/z2 Прямые будут перпендикулярны, если: m1*m2+n1*n2+z1*z2=0 Угол между прямыми равен отношению скалярного произведения направляющих векторов к произведению длин их сторон: α=arcos(m1m2+n1n2+z1z2)/ Пусть прямые заданы общими уравнениями: Первая прямая: A1x+B1y+C1z+D1=0(система) A2x+B2y+C2z+D2=0 Вторая прямая: A3x+B3y+C3z+D3=0(система) A4x+B4y+C4z+D4=0 Тогда эти прямые будут пересекаться, когда система: A1x+B1y+C1z+D1=0(система) A2x+B2y+C2z+D2=0 A3x+B3y+C3z+D3=0(система) A4x+B4y+C4z+D4=0 Будет совместна. Т.е. когда ранг матрицы системы будет равен рангу расширенной матрице системы, то система будет иметь единственное решение, т.е. прямые будут пересекаться, если ранг матрицы будет меньше, то количество решений бесконечное множество, то прямые совпадают.

29билет. Комплексные числа z, наз. упорядоченная пара, удовлетворяющая следующим операциям: z=(a;b); ; ;

(a;0)=а(1;0)+b(0;1) любое комплекс.число можно представить в таком виде.

(a;0)=а(1;0)=а множество действит.чисел явл.подмножеством множества комплексн.чисел. Комплексное число (0;1) наз.мнимой единицей и обозначается i.

Деление комплексных чисел в алгебраической форме.