Задание 6
Пример. В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не менее 2 и не более 3 мальчиков; в) хотя бы один мальчик. Каково наивероятнейшее число мальчиков в семье и чему равна соответствующая вероятность?
Решение. По условию задачи число испытаний п = 5. В качестве успеха примем рождение мальчика, тогда вероятность успеха р = 0,51, а вероятность неудачи (рождение девочки) q = 1 – p =1 – 0,51 =0,49. Так как испытания (рождение ребенка) независимы и при каждом испытании вероятность успеха одна и та же, то для нахождения интересующих нас событий применима формула Бернулли
.
а) Пусть событие А – в семье 2 мальчика. В этом случае k = 2 и
.
б) Пусть событие
В
– в семье не менее 2 и не более 3 мальчиков.
Событии В
равносильно
тому, что в семье или 2 мальчика или 3
мальчика. Эти события несовместные,
поэтому
.
Найдем
.
Следовательно,
.
в) Пусть событие
С
– в семье хотя бы один мальчик. Событие
С равносильно
событию, состоящему в тов, что в семье
или 1, или 2,
или 3, или 4, или 5 мальчиков. Значит
.
С другой стороны,
событие С
противоположно событию, состоящему в
том, что в семье нет мальчиков.
Следовательно,
.
Для вычисления
искомой вероятности удобнее воспользоваться
именно последним равенством. Для этого
найдем вероятность
.
Тогда
.
Наивероятнейшее число мальчиков в семье найдем из неравенства
Так как число
дробное, то существует только одно
наивероятнейшее число, равное целому
числу из интервала
.
Следовательно, наивероятнейшее число
.
Соответствующую вероятность мы уже
находили
.
Фирма обслуживает n клиентов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка, равна p для каждого клиента. В задачах 6.1. – 6.30. найти:
1) вероятность того, что в течение дня:
а) поступит k заявок;
б) не мене k1 и не более k2 заявок;
в) поступит хотя бы одна заявка;
2) наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и соответствующую вероятность.
-
вариант
n
p
k
k1
k2
6.1
8
0,4
5
4
6
6.2
7
0,3
4
0
2
6.3
6
0,2
3
2
4
6.4
5
0,5
0
1
3
6.5
9
0,2
3
3
6
6.6
10
0,1
6
3
5
6.7
13
0,6
6
7
10
6.8
15
0,5
1
10
13
6.9
20
0,3
3
12
15
6.10
11
0,7
6
2
5
6.11
14
0,1
4
11
14
6.12
16
0,9
5
2
4
6.13
18
0,4
10
13
16
6.14
17
0,3
7
5
9
6.15
19
0,2
5
5
7
6.16
8
0,5
3
0
3
6.17
7
0,2
1
1
5
6.18
6
0,1
4
4
6
6.19
5
0,6
5
0
4
6.20
9
0,5
7
5
8
6.21
10
0,3
2
6
10
6.22
13
0,7
6
4
7
6.23
15
0,1
11
7
9
6.24
20
0,9
15
15
18
6.25
11
0,4
4
9
11
6.26
14
0,3
8
11
14
6.27
16
0,2
5
7
11
6.28
18
0,5
1
4
6
6.29
17
0,2
5
15
17
6.30
19
0,1
10
13
16