Задание 4

Пример 1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,9, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: 1) только второй экзамен; 2) только один экзамен; 3) три экзамена; 4) по крайней мере, два экзамена; 5) хотя бы один экзамен.

Решение. 1) Пусть события А_і заключаются в том, что студент сдаст і-й экзамен (і = 1,2,3), В – студент сдаст только второй экзамен из трех. Очевидно, что событие В представляет собой совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст второй экзамен и не сдаст первый и третий экзамены, т.е. . Учитывая, что события А₁, А₂, А₃ независимы, получим

.

2. Пусть событие С – студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только первый экзамен из трех, или только второй, или только третий, т.е.

.

Так как события А₁, А₂, А₃ независимы, а события несовместны, то

3) Пусть событие Е – студент сдаст, по крайней мере, два экзамена. Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех экзаменов, т.е.

.

Тогда

.

4) Пусть событие F – студент сдал хотя бы один экзамен. Очевидно, событие F представляет собой сумму событий С (включающего в себя три варианта) и Е (четыре варианта), т.е. F = C + E (семь вариантов). Проще найти вероятность события F, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант: студент не сдал ни один экзамен, т.е. . Тогда

Пример 2. При обработке детали станком брак составляет в среднем 0,5% от общего числа всех обработанных деталей, а 90% от числа стандартных деталей составляют детали высшего качества. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь окажется высшего качества?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что взятая наугад деталь окажется высшего качества. Для того, чтобы она была высшего качества, необходимо, во-первых, чтоб деталь была не бракованной (обозначим через В), и, во-вторых, она должна быть высшего качества (событие С). Тогда событие А можно представить как совместное появление событий В и С, т.е. . Эти события зависимы, поэтому воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий:

,

где – условная вероятность события С, при условии, что событие В уже произошло.

Найдем вероятность того, что отобранная деталь не бракованная. Данная вероятность может быть найдена через вероятность противоположного события

.

Тогда

.

Вероятность того, что деталь высшего качества, при условии, что она не бракованная равна

.

Следовательно,

.

1. Дается залп из 2 орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели, если для поражения достаточно хотя бы одного попадания.

2. На нефтеперерабатывающий завод в разные сроки поступает нефть с четырех разных месторождений: А, В, С, Д. Вероятность того, что нефть поступает с месторождения А равна 0,3, с В – 0,4, с С – 0,2, и с Д – 0,1. Найти вероятность одновременного поступления нефти с трех месторождений.

3. На предприятии при массовом изготовлении некоторого изделия брак составляет в среднем 1,5% от общего числа всех изделий, а 96% от числа годных изделий составляют изделия первого сорта. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие окажется первого сорта?

4. Три стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попали ровно две пули.

5. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,4; для второго – 0,5 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела всех стрелков по мишени в ней будет ровно одна пробоина.

6. Круговая мишень состоит из 3 зон. Вероятность попадания в первую зону – 0,12; во вторую – 0,23; в третью – 0,3. Найти вероятность промаха.

7. На искусственном спутнике Земли установлено 3 различных прибора для измерения одной и той же величины. Для первого вероятность безотказной работы в течение года равна 0, 9; для второго – 0,8; для третьего – 0,7. Определить вероятность следующих событий: 1) ровно два прибора выйдут из строя; 2) хотя бы один прибор не выйдет из строя.

8. Изготовление детали состоит из двух технологических операций. При первой операции получается 2% брака, при второй – 6% брака. Операции независимы. Найти вероятность того, что после этих двух операций деталь будет годной.

9. Вероятность того, что стрелок при стрельбе по мишени выбьет 10 очков, равна 0,15; 9 очков – 0,2; 8 очков – 0,3; 7 очков – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок выбьет более 7 очков.

10. В группе 20 студентов, из них 15 юношей и 5 девушек. Группа должна выбрать трех студентов на профсоюзную конференцию. Какова вероятность, что среди делегатов будет хотя бы один юноша?

11. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2; второй – 0,3; третий – 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.

12. В ОТК фабрики модельной обуви просматривается 300 пар обуви, из них 60 пар фасона «А» и остальные фасона «В». Определить вероятность того, что первые две просмотренные пары одинакового фасона.

13. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует внимания мастера, равна 0,3; второй ‑ 0,6; третий ‑ 0,4; четвертый ‑ 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.

14. Вероятность выполнить месячный план торговой точкой равна 0,95. Вероятность перевыполнения плана точкой, из числа выполнивших план, равна 0,8. Какова вероятность перевыполнения плана любой торговой точкой из их общего числа?

15. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком 0,75; вторым – 0,8; третьим – 0,9. Определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.

16. Круговая мишень состоит из трех непересекающихся зон. Вероятность попадания в первую зону – 0,2; во вторую – 0,34; в третью – 0,12. Найти вероятность промаха.

17. Вероятность выполнить месячный план по заготовке молока у одного совхоза равна 0,95, а у другого совхоза – 0,97. Какова вероятность того, что месячный план будет выполнен обоими совхозами?

18. Из аэровокзала отправились два автобуса к трапу самолета. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса равна 0,95. Найти вероятность того, что: а) оба автобуса прибудут во время; б) только один автобус прибудет вовремя.

19. Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, при стрельбе из второго орудия – 0,7. Для поражения цели достаточно одного попадания в цель любого орудия. Найти вероятность поражения цели при одновременном выстреле обоих орудий.

20. Вероятность купить в магазине финики равна 0,9; грецкие орехи – 0,7. Какова вероятность того, что в магазине будет куплен хотя бы один из этих продуктов?

21. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится только в одном справочнике.

22. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем ящиках, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится не более чем в двух ящиках.

23. Три стрелка независимо один от другого ведут стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка ‑ 0,8; для второго ‑ 0,7; для третьего ‑ 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один стрелок попадет в цель.

24. Для сигнализации об аварии установлены 2 независимо работающих сигнализатора. Вероятности того, что при аварии сигнализатор сработает, равны: для первого – 0,8; для второго – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

25. Профсоюз выделил для детей организации 12 путевок в пионерский лагерь и 5 путевок в военно-спортивный лагерь. Родители двух друзей, не сговариваясь, приобрели по одной путевке. Какова вероятность того, что друзья попадут в один лагерь: либо пионерский, либо в военно-спортивный?

26. Для 4 торговых точек фирмой определен плановый уровень прибыли. Вероятность того, что первая точка выполнит план прибыли, равна 90%, для второго она составляет 95%, для третьего и четвертого – по 100%. Какова вероятность, что плановый уровень прибыли будет достигнут: а) всеми торговыми точками; б) хотя бы одной торговой точкой.

27. Три стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель равны соответственно 0,6; 0,7; 0,9. Определить вероятность двух промахов.

28. Вероятности своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из 3 дисциплин соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы: а) по 2 дисциплинам; б) хотя бы по 2 дисциплинам.

29. Экспедиция издательства отправила газеты в 3 почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95; во второе отделение – 0,9 и в третье – 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

30. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из 3 узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна 0,9; второго – 0,95; третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t прибор выйдет из строя.