2.6. Двухэтапная транспортная задача

Сформулируем следующую задачу. Три свеклосеящих хозяйства К₁, К₂, К₃ поставляют сахарную свеклу на два сахарных завода З₁, З₂, которые имеют в трех местах приемные пункты П₁, П₂, П₃, расположенные на некотором расстоянии от хозяйств и заводов. Объемы поставок свеклы хозяйствами, возможности приемных пунктов, мощности сахарных заводов и расстояния между хозяйствами, пунктами и заводами приведены в табл. 2.10 и 2.11. Требуется составить план перевозок свеклы из хозяйств на приемные пункты, а затем с пунктов на заводы, который имел бы минимальную тонно-километровую работу.

Таблица 2.10 Таблица 2.11

Хозяйство и объем его поставок, т		Приемный пункт и его возможности				Приемный пункт и его возможности, т		Сахарный завод и его мощности
		П1	П2	П3				З1	З2
		5	5	5				7	7
К1	4	6	5	8		П1	5	7	6
К2	7	4	7	6		П2	5	4	8
К3	3	8	6	7		П3	5	9	10

Для решения из таблиц 2.10-2.11 составим таблицу 2.12, в которой приемные пункты показаны как промежуточные, буквой М блокируются клетки, означающие поставку свеклы из хозяйств на заводы и между приемными пунктами. Клетки, отражающие поставку приемного пункта самому себе, имеют расстояние 0, и записанные в них поставки будут означать неиспользованные возможности приемных пунктов.

Решение. Исходное распределение (табл. 2.12) выполнено способом наименьшего элемента матрицы, при этом клетки с нулевыми элементами, как в задачах открытой модели, заполняются в последнюю очередь. Для проверки плана на оптимальность рассчитаем потенциалы строк и столбцов. Все свободные клетки имеют положительные характеристики, значит, получен оптимальный план.

Таблица 2.12

Поставщик и его запас		Потребитель и его потребность					Потенциал строки Ui
		П1	П2	П3	З1	З2
		5	5	5	7	7
К1	4	6 4	5 ( 4 )	8 6	( М )	( М )	0
К2	7	4 ( 5 )	7 5	6 ( 2 )	( М )	( М )	0
К3	3	8 5	6 ( 1 )	7 ( 2 )	( М )	( М )	1
П1	5	0	( М )	( М )	7 5	6 ( 5 )	-10
П2	5	( М )	0	( М )	5 ( 5 )	8 6	-10
П3	5	( М )	( М )	0 ( 1 )	9 ( 2 )	10 ( 2 )	-6
Потенциал столбца Vj		4	5	6	15	16

Согласно этому плану хозяйство К₁ поставляет 4 т свеклы приемному пункту П₂,

К₂ – 5 т пункту П₁ и 2 т - П₃,

К₃ – 1 т пункту П₂ и 2 т - П₃.

При этом недоиспользованные возможности 1 т будет иметь пункт П₃.

Из пункта П₁ на сахарный завод З₂ будет поставлено 5 т, из П₂ 5 т на З₁, из П₃ 2 т на З₁ и 2 т на З₂, недоиспользованные возможности составят 1 т.

При двух или нескольких промежуточных пунктах принципы решения задачи не изменяются, а задачи называются 2^х, 3^х и многоэтапными.

Как единая двухэтапная задача решается не только тогда, когда возможности промежуточных пунктов превышают сбалансированные объемы вывоза поставщиками и завоза потребителями, но и тогда, когда такого баланса нет.

Если возможности пунктов соответствуют объему поставок и мощности заводов, то задача решается по частям: вначале рассчитывается план перевозок свеклы от хозяйств до приемных пунктов, а затем от приемных пунктов до сахарных заводов.