5.4. Определение оптимальной рецептуры сырья

Рецептура сырьевой смеси для производства пищевых продуктов с определенными вкусовыми качествами и пищевой ценностью разрабатывается на основе лабораторных и органолептических исследований качества сырья и готовой продукции, при этом определяются химические, физические и вкусовые свойства смеси сырья, составных компонентов и готовой продукции, получаемой из этой смеси.

Использование симплексного метода при выборе необходимых видов сырья для производства продукта с заданными количественными и качественными характеристиками, позволяет определить самый дешевый набор сырья.

В задачах определения рецептуры сырья (задачах о диете) требуется получить исходную смесь продуктов (сырья), имеющую определенные количественные и качественные характеристики.

Рассмотрим следующую задачу. Предположим, на пищеконцентратном предприятии запланирован выпуск продукта, содержащего белков 0,3 (30%), жиров 0,2 (20%), углеводов 0,4 (40%) и прочих питательных веществ 0,1 (10%). Для получения указанного продукта может быть использовано исходное сырье трех видов с различным соотношением питательных веществ и неодинаковой ценой за единицу сырья. Исходная информация задачи представлена в табл. 5.5.

Задача состоит в том, чтобы определить, в какой комбинации и в каком количестве должны входить в сырьевую смесь имеющиеся виды сырья. Исходная смесь сырья должна иметь заданное соотношение питательных веществ и обеспечивать при этом минимальную сумму расходов на сырье.

Таблица 5.5

Питательные вещества	Вид исходного сырья			Содержание питательных веществ
	М1	М2	М3
Белки (П1)	0,3	0,1	0,6	0,3
Жиры (П2)	0,1	0,2	0,2	0.2
Углеводы (П3)	0,5	0,6	0,1	0,4
Прочие вещества (П4)	0,1	0,1	0,1	0,1
Цена единицы сырья	4	2	3

Модель задачи формализуется следующим образом.

Целевая функция, выражающая суммарные затраты на сырье, должна быть минимальной:

F = 4Х₁ + 2Х₂ + 3Х₃ = min . ( 5.11 )

При ограничениях

1) на точное соблюдение заданного соотношения:

0,3Х₁ + 0,1Х₂ + 0,6Х₃ = 0,3

0,1Х₁ + 0,2Х₂ + 0,2Х₃ = 0,2 ( 5.12 )

0,5Х₁ + 0,6Х₂ + 0,1Х₃ = 0,4

0,1Х₁ + 0,1Х₂ + 0,1Х₃ = 0,1

2) на общее количество входящего в смесь сырья: Х₁ + Х₂ + Х₃ = 1 ( 5.13 )

3) при неотрицательности неизвестных: X_i  0 , i = 1, 2, 3, ( 5.14 )

которые обозначают величину каждого вида сырья, входящего в исходную смесь.

При переходе к модели общего вида примем следующие обозначения: Х_j - величина j-го исходного сырья, включаемого в сырьевую смесь (искомое неизвестное число); а_ij—содержание i-го питательного вещества в j-м исходном сырье; b_i—содержание i-го питательного вещества в готовом продукте; C_j - цена за единицу j-го сырья.

Целевая функция: F = = min , ( 5.15 )

при ограничениях на запас сырья: , i = 1,2,…,m , ( 5.16 )

, ( 5.17 )

где R – заданная величина.

X_j  0, j = 1,2,…,n . ( 5.18 )

Задача о смесях будет иметь следующую математическую формулировку: определить неотрицательные значения неизвестных Х_j, удовлетворяющие ограничениям, заданным уравнениями ( 5.16 ) - ( 5.18 ), и обеспечивающие минимальное значение целевой функции, выраженной уравнением ( 5.15 ).

Для решения задачи исходные ограничения должны быть преобразованы в симплексные уравнения, в которые должна быть введена искусственная неизвестная с коэффициентом 1, т.е. исходная матрица должна содержать единичную подматрицу. При решении задачи на минимум значение целевой функции должно изменяться от максимальной до минимально возможной величины. Поэтому в исходном плане для фиктивных видов сырья цены принимаются намного большими чем у реального сырья и обозначаются буквой М. Следовательно симплексные уравнения запишутся в виде:

0,3 = 0,3Х₁ + 0,1Х₂ + 0,6Х₃ + 1Х₄ + 0Х₅ + 0Х₆ + 0Х₇ + 0Х₈

0,2 = 0,1Х₁ + 0,2Х₂ + 0,2Х₃ + 0Х₄ + 1Х₅ + 0Х₆ + 0Х₇ + 0Х₈

0,4 = 0,5Х₁ + 0,6Х₂ + 0,1Х₃ + 0Х₄ + 0Х₅ + 1Х₆ + 0Х₇ + 0Х₈ ( 5.19 )

0,1 = 0,1Х₁ + 0,1Х₂ + 0,1Х₃ + 0Х₄ + 0Х₅ + 0Х₆ + 1Х₇ + 0Х₈

1,0 = Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ + Х₅ + Х₆ + Х₇ + 1Х₈

F = 4Х₁ + 2Х₂ + 3Х₃+МХ₄+МХ₅+МХ₆ +МХ₇+ МХ₈

Коэффициенты симплексных уравнений записываются в симплексной таблице (табл. 5.6).

Таблица 5.6

Сj	P0	X0	4	2	3	М	М	М	М	М	цены
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8
М	Х4	0,3	0,3	0,1	0,6	1	0	0	0	0
М	Х5	0,2	0,1	0,2	0,2	0	1	0	0	0
М	Х6	0,4	0,5	0,6	0,1	0	0	1	0	0
М	Х7	0,1	0,1	0,1	0,1	0	0	0	1	0
М	Х8	1,0	1	1	1	0	0	0	0	1
Zj - Cj		2М	2М-4	2М-2	2М-3	0	0	0	0	0

Целевая функция исходного плана (для Х₀)

F = 0,3M - 0,2M - 0,4M - 0,1M - 1,0M = 2M.

Для остальных столбцов целевой строки (Z_j - C_j) показатели рассчитываются так: все элементы столбца умножаются на соответствующие показатели столбца С_j и суммируются. Из полученной суммы вычитается показатель этого столбца (цена);

Для столбцов Х₁, Х₂, Х₃ показатели будут равны 2М-4, 2М-2, 2М-3 Для всех остальных столбцов показатели целевой строки буду равны 1M+0M+0M+0M+0M=M; М-М=0 и т.д.

В симплексной таблице при решении задач на минимум функции ключевой столбец выбирается по наибольшей положительной величине в целевой строке (столбец Х₂). Ключевая строка выбирается по наименьшему отношению показателей итогового столбца (Х₀) и элемента ключевого столбца: 0,4 : 0,6 = 0,667 = 2/3.

Т.е. вместо фиктивного сырья Х₆ вводится реальное сырье Х₂ с ценой за единицу 2. Остальные элементы таблицы преобразуются по общим правилам и записываются в новую таблицу 6.7.

В целевой строке (Z_j - C_j) элементы двух столбцов (Х₁ и Х₃) имеют положительные значения, значит оптимальное решение не получено.

В таблице 5.7 ключевым является столбец Х₃, так как он имеет наибольшую величину в целевой строке.

По отношениям показателей столбца Х₀ к элементам ключевого столбца определяется ключевая строка. Наименьшее отношение, равное 2/5, имеют сразу четыре строки: Х₄ , Х₅, Х₇ и Х₈. Случай, когда при решении задач симплексным методом минимальное отношение имеют сразу несколько строк, называется вырождением. В отличие от транспортно-распределительных задач возникновение вырождения при использовании симплексного алгоритма не вносит каких-либо осложнений в решение задач и поэтому не требует мер по его устранению.

Таблица 5.7

Сj	P0	X0	4	2	3	М	М	М	М	М	цены
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8
М	Х4	7/30	13/60	0	1/6	1	0	-1/6	0	0
М	Х5	1/15	-1/15	0	1/6	0	1	-1/3	0	0
2	Х2	2/3	5/6	1	1/12	0	0	10/6	0	0
М	Х7	1/30	1/30	0	5/6	0	0	-1/6	1	0
М	Х8	1/3	1/6	0	1	0	0	-10/6	0	1
Zj - Cj		М+	М+	0	М+	0	0	М+	0	0

В качестве ключевой принимается строка Х₄. В ней вместо фиктивного сырья записывается неизвестное Х₃ с соответствующей ему ценой за единицу. Все остальные элементы таблицы преобразуются и записываются в новую таблицу (табл. 5.8).

Отрицательные значения элементов целевой строки говорят о том, что получено оптимальное решение задачи.

По показателям итогового столбца (табл. 5.8) видно, что в состав смеси сырье Х₂ входит в количестве 3/5 = 0,6 т, сырье Х₃ в количестве 2/5 = 0,4 т. В сумме эти два вида сырья составляют смесь, равную 1 т (0,6 + 0,4). Полученная смесь позволяет выработать 1 т готового продукта с заданным соотношением питательных веществ. Это можно проверить, подставив в уравнения значения неизвестных. Минимально возможная стоимость 1 т смеси составляет сумму F = 2 • 0,6 + 3 • 0,4 = 2,4, равную значению функции в итоговом столбце (12/5 = 2,4).

Таблица 5.8

Сj	P0	X0	4	2	3	М	М	М	М	М	цены
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8
3	Х3	2/5	13/35	0	1	12/7	0	-2/7	0	0
М	Х5	1/15	-9/70	0	0	-2/7	1	-6/21	0	0
2	Х2	2/3	27/35	1	0	2/7	0	13/7	0	0
М	Х7	1/30	-1/70	0	0	-1/7	0	-1/7	1	0
М	Х8	1/3	-1/7	0	0	-10/7	0	-10/7	0	1
Zj - Cj		12/5	М+	0	0	М+	0	М+	0	0