Задача№2

Дано: R₁=3; R₂ =6Ом; R₃=7Ом; R₄=4Ом; R₅=1Ом; R₆=4Ом;

E₁=0В; E₂=0В; E₃=0В; E₄=0В; E₅=20В; E₆=0В;

I₁=0А; I₂=0А; I₃=0А; I₄=6А; I₅=0А; I₆=5А.

Найти:

1. составить расчетную схему электрической цепи;

2. токи во всех ветвях, используя для расчета схемы метод контурных токов;

3. записать систему уравнений Кирхгофа, необходимых для определения токов во всех ветвях схемы и выполнить проверку расчета цепи методом контурных токов;

4. выделить в схеме три сопротивления, включенные по схеме треугольника, и заменить их эквивалентным соединением по схеме звезды;

5. рассчитать напряжение между точками А и В схемы;

6. составить баланс мощностей для исходной схемы.

Решение:

I. Расчет цепи методом контурных токов.

1. Определяются контуры, для которых можно составить уравнения контурных токов, и произвольно принимаются направления этих токов. Расчетная схема для расчета методом контурных токов:

R₁

2) Уравнения контурных токов для этой схемы имеют вид:

I_I(R₁+R₂+R₃) – I_IIR₂ – I_IIIR₃= 0

–I_IR₂+ I_II(R₃+R₄+R₅) – I_IIIR₅ = E₄–E₅

–I_IR₃ – I_IIR₅ + I_III(R₃+R₅+R₆) = E₅– E₆

16I_I–6I_II–7I_III =0

-6I_I+11I_II–1I_III = 24–20

–7I_I–1I_II+12I_III= 20–20

3)Составляются определители контурных уравнений: основной ∆ и дополнительные ∆_I, ∆_II, ∆_III.

16 –6 –7 0

–6 11 –1 4

–7 –1 12 0

16 –6 –7

∆ = –6 11 –1 = 2112–42–42–539–16–432=1041

–7 –1 12

0 –6 –7

∆_I= 4 11 –1 = 0+0+28 – 0 – 0 +288=316

0 –1 12

16 0 –7

∆_II= –6 4 –1 =768+0+0–196–0–0=572

–7 0 12

16 –6 0

∆_III= –6 11 4 = 0+168+0–0+64- 0 =232

–7 –1 0

4)По найденным определителям вычисляются контурные токи:

I_I= ∆_I\∆= 316\1041 = 0,3036 A

I_II=∆_II\∆= 572\1041 = 0,5495 A

I_III=∆_III\∆= 232\1041 = 0,2229 A

5)По контурным токам определяются токи в ветвях цепи:

I₁=I_I=0,3036 A

I₂=I_II–I_I=0,5495 – 0,3036= 0,2459 A

I₃=I_I–I_III=0,3036 – 0,2229 = 0,0807 A

I₄= I_II=0,5495 A

I₅= I_II–I_III=0,5495 – 0,2229=0,3266 A

I₆= I_III= 0,2229 A

II. Составление системы уравнений Кирхгофа.

1)На схеме указываются направления токов I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆ в ветвях с учётом их знаков и направлений контурных токов и составляем узловые уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов 1, 2, 3.

2) Число независимых уравнений на единицу меньше общего числа узлов в цепи.

I₁–I₄+I₂=0

I₅–I₂–I₃=0

I₄–I₅–I₆=0

3)Выбираем независимые контуры и произвольно принимаются направления их обхода; для всех контуров по второму закону Кирхгофа составляются контурные уравнения.

I₁R₁– I₂R₂+I₃R₃=0

I₄R₄+I₂R₂+I₅R₅= E₄–E₅

–I₃R₃+I₆R₆–I₅R₅= E₅–E₆

4)Проводится правильность расчетов подстановкой найденных значений токов в уравнения, составленные по законам Кирхгофа:

0,3036∙3–0,2459∙6+0,0807∙7=0,0003

0,5495∙4+0,3266∙1+0,2459∙6=24–20=4

–0,0807∙7+0,2229∙4–0,3266∙1=20–20=0,0001