3 Математичне моделювання об`єктів керування

Математична модель об`єкта керування повинна відображати особливості об`єкта з точки зору його керування, бути адекватною об`єкту моделювання, а також бути по можливості простою.

Математичні моделі об`єктів керування ділять на статичні та динамічні. Системи автоматичного регулювання та керування працюють переважно в динамічних режимах, через що більш важливим є дослідження динаміки об`єктів керування. Динамічні характеристики об`єктів керування могуть бути подані диференційними рівняннями, передаточними функціями, амплітудно-фазовимим характеристиками, або графіками перехідної характеристики, чи годографом амплітудно-фазової характеристики. Існують і деякі інші подання динамічних характеристик об`єктів. Кожна різновидність динамічних характеристик має свою область застосування. Між усіма характеристиками існує однозначна залежність. При розрахунках систем автоматичного керування математичну модель динаміки зручно представляти у вигляді передаточних функцій.

В загальному вигляді динамічна характеристика лінійного або лінеарізованого об`єкта керування описується диференціальним рівнянням із сталими коефіцієнтами виду:

(3.1)

де - сталі коефіцієнти; - час запізнювання; x(t), y(t) – вхідний і вихідний сигнали.

Розв`язок рівняння (3.1) є аналітичним виразом перехідної характеристики. Тобто перехідна характеристика є графіком функції, отриманої шляхом розв`язання відповідного диференційного рівняння. Із рівняння (3.1) шляхом його перетворення за Лапласом можна отримати передаточну функцію об`єкта для даного каналу впливу.

(3.2)

де k – коефіцієнт передачі.

Коефіцієнти мають розмірність часу в ступені равной порядку похідної відповідного доданка.

3.1 Методи отримання динамічних моделей

Математичні моделі об`єктів керування можуть бути отримані аналітичним та експериментальним методами.

Аналітичні методи математичного моделювання базуються на найбільш загальних законах природознавства: законах збереження матерії та енергії, залежностях теплопередачі, гідростатики, гідродинаміки та ін. Аналітичні моделі враховують конструктивні характеристики об`єктів, їх фізико-хімічні та технологічні особливості. Цей метод дозволяє отримати математичні моделі для діючих об`єктів, об`єктів що споруджаються і тих, що тільки проектуються.

Основний недолік аналітичних моделей їх недостатня точність із-за спрощень та припущень, що приймаються під час розробки моделі. Підвищення точності таких моделей призводить до їх ускладнення, що затрудняє їх використання на практиці.

В практиці інженерних розрахунків більш поширені експериментальні методи отримання математичних моделей об`єктів керування. Задачами експериментальних методів дослідження динаміки є виявлення реакції об`єкта на збурення певної форми.

Експериментальні методи отримання динамічних моделей більш прості, менш трудомісткі та більш точні чим аналітичні методи. Однак отримані експериментальним шляхом динамічні характеристики конкретного об`єкта не відображають внутрішні взаємозв`язки в об`єкті, та його структуру. Це не дає змоги результати одержані на конкретному об`єкті перенести на інші однотипні об`єкти.

Процес визначення характеристик об`єктів керування за даними експериментальних досліджень називається ідентифікацією.

Ідентифікація це процес визначення структури і параметрів математичної моделі, яка забезпечує найкраще співпадання вихідних координат об`єкта і моделі при однакових вхідних впливах.

Методи ідентифікації розділяють на методи структурної ідентифікації і параметричної ідентифікації. Методи структурної ідентифікації призначені для визначення структури і параметрів математичної моделі. В методах параметричної ідентифікації розраховуються параметри моделі відомої структури.

У даній роботі розглядаються методи параметричної ідентифікації. В цих методах вигляд математичної моделі вибирається на основі попереднього аналізу властивостей об`єкту. Коефіцієнти математичної моделі отримують шляхом обробки і аналізу експериментальних даних. Результатом експерименту є графік динамічної характеристики, який відображає реакцію вихідної величини об`єкта моделювання на певне збурення.

Найбільш поширеним методом параметричної ідентифікації об`єктів керування є метод перехідних характеристик. Цей метод базується на досліджені поведінки об`єкта керування після нанесення збурення ступінчастої форми.