Тема 2.4. Числовые ряды.

1. Числовой ряд. Основные понятия.

2. Теоремы и признаки сравнения для положительных числовых рядов.

3. Знакопеременные ряды.

4. Степенные ряды. Разложение функций в ряд Маклорена.

Пункт 1. Числовой ряд. Основные понятия.

Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов   Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой.

 Ряд    называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности     частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают  , .

Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится.

Разность называется остатком ряда. Для сходящегося ряда   . Это означает, что сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования.

Теорема (необходимое условие сходимости ряда) Если ряд сходится, то  .

Замечание: Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться.

Ряд, вида называется гармоническим. К сожалению, сказать однозначно, расходится данный ряд или сходится, мы не можем. Для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S , мы бы имели:

Но

Значит, . Отсюда следует, что равенство невозможно, то есть гармонический ряд расходится.

Замечание. Ряд называется обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле. Он сходится при и расходится при .

Ряд вида называется геометрическим .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов . Очевидно: это n-ая частичная сумма геометрического ряда.

Возможны случаи: или . Тогда данный ряд сходится при и расходится при .

Примеры:

1. Найти сумму ряда .

Решение:

Подсчитаем :

По определению .

2. Найти сумму ряда .

Решение:

Пользуясь определением суммы ряда и раскрывая неопределённость вида , при вычислении предела, получим:

Пункт 2.  Теоремы сравнения. Признаки сравнения для положительных числовых рядов.

Теорема 1. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами   и  , . Если при всех n, начиная с некоторого номера, , то из сходимости ряда следует сходимость ряда. Наоборот, из расходимости ряда следует расходимость ряда.

Теорема 2. Если для таких же двух рядов   , то оба ряда или сходятся или расходятся одновременно. При использовании теорем сравнения нужно иметь ряд-эталон, с которым сравнивать и про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд  , который сходится при и расходится при , или геометрический ряд , который сходится при и расходится при .

Признак сходимости Даламбера. Для ряда с положительными членами , вычислим  . Если , то ряд сходится, - расходится.

Замечание. При признак Даламбера ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости Коши. Для ряда с неотрицательными членами  , вычислим . Если  , то ряд сходится, - расходится.

Замечание: При   признак Коши ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться.

Примеры:

3. .

Решение.

Ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой , . Следовательно, он сходится, .

Решение.

Рассмотрим . Ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ( при ).

Решение.

Исследуем ряд по теореме сравнения. Поскольку при , а ряд сходится как ряд бесконечно убывающей геометрической прогрессии, то исходный ряд тоже сходится.

6. .

Решение.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом :

. В силу второй теоремы сравнения он расходится (т.к.расходится гармонический ряд).

7. .

Решение.

Здесь , . По признаку Даламбера ряд расходится, поскольку .

8. .

Решение.

По признаку Даламбера ряд сходится, так как

.

9. .

Решение.

Общий член ряда представляет собой степенно-показательныю функцию, поэтому для исследования ряда удобно применить радикальный признак Коши. Так как , то ряд сходится.

10. .

Решение.

Аналогично предыдущему примеру вычислим . В соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.

11. .

Решение.

Так как , то по признаку Даламбера ряд расходится.

12. .

Решение.

Поскольку

,

то ряд расходится в силу необходимого условия сходимости.

13. .

Решение.

Так как , то . Значит, исходный ряд сходится согласно признаку сравнения, поскольку ряд расходится.

14. .

Решение.

Ряд расходится при и сходится при , ибо при .

Пункт 3. Знакопеременные ряды.

Если в последовательности бесконечно много положительных и отрицательных членов, то ряд называется знакопеременным.

Знакопеременный ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд  . Если ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда   начинают с исследования на сходимость ряда из модулей  методами для рядов с неотрицательными членами. Если такой ряд сходится, то получен ответ: ряд сходится абсолютно.

Ряд   называется знакочередующимся.

Если ряд из модулей расходится, то для знакочередующегося ряда можно применить признак Лейбница: если последовательность  стремится к нулю, монотонно убывая,  , то ряд    сходится, по крайней мере, условно.

Для знакочередующегося ряда очень просто оценивается остаток ряда: .

Пункт 4. Степенные ряды. Разложение функций в ряд Маклорена.

Рассмотрим ряд,  , членами которого являются функции, определенные на промежутке  . Такой ряд называется функциональным.

Функциональный ряд     , где - числовая последовательность, называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале   с центром в точке  . Число - радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формулам , или     . Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки  и имеет в этой точке производные всех порядков.

Ряд называется рядом Тейлора для функции   в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена:   .

Функция  может быть разложена в степенной ряд на интервале , если существует степенной ряд, сходящийся к  на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то это ряд Тейлора. Пусть функция  бесконечно дифференцируема на интервале и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, то есть существует число  , такое, что для всех    и для всех  справедливо неравенство . Тогда ряд Тейлора сходится к  для всех  .

Приведем разложения в ряд Маклорена для основных элементарных функций.