Свойства определенного интеграла:
-
,
если b=a.
-
.
-
.
-
Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то
.
-
Если
и
,
и функции f(x),
g(x)
интегрируемы по отрезку [a,b],
то
.
-
Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству
,
то
. -
Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то
.
-
(Теорема о среднем) Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка
,
такая что
.
Геометрический
смысл определённого интеграла.
Если f(x)
>0 на отрезке [a,b],
то
равен
площади криволинейной трапеции ABCD,
ограниченной снизу отрезком [a,b],
слева и справа - прямыми x
= a
и x
= b,
сверху – функцией y
= f(x).
Формула Ньютона-Лейбница.
Если
f(x)
непрерывна на отрезке [a,
b],
и F(x)
- некоторая первообразная функции
,
то
.
Пункт 5. Методы интегрирования определенного интеграла.
Методы интегрирования определенного интеграла практически не отличаются от методов интегрирования неопределенного интеграла.
Метод непосредственного интегрирования определенного интеграла состоит в том, что путем тождественных преобразований и применения свойств определенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, которые вычисляются по формуле Ньютона-Лейбница.
Примеры.
-
.
-
.
Интегрирование методом введения новой переменной определенного интеграла состоит в следующем:
-
часть подынтегральной функции заменить новой переменной так, чтобы затем получить табличный интеграл;
-
найти дифференциал от обеих частей замены;
-
найти новые пределы интегрирования определенного интеграла;
-
всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную, после чего получится табличный интеграл;
-
вычислить полученный определенный интеграл, используя новые пределы интегрирования.
Примеры:
.
-
=.
-
=.
-
=
-
=.
Интегрирование по частям определенного интеграла осуществляется по формуле: , где u и - функции, зависящие от х, имеющие непрерывные производные.
Примеры:
-
.
-
=.
-
=.
Пункт 6. Приложения интеграла.
Тема 2.4. Дифференциальные уравнения.
-
Основные понятия.
-
Дифференциальные уравнения первого порядка.
-
Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
-
Однородные дифференциальные уравнения.
-
Линейные дифференциальные уравнения.
-
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
-
Дифференциальные уравнения в частных производных.
Пункт 1. Основные понятия.
Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами является моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и их производные.
Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.
В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (для краткости слово «обыкновенные» иногда будем опускать), поэтому еще раз сформулируем определение таких уравнений.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные:
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.
Дифференциальное уравнение n-го порядка вида
(1)
называется разрешенным относительно высшей производной.
Решением
дифференциального уравнения п-го порядка
называется всякая функция
,
определенная для значений х на конечном
или бесконечном интервале, имеющая
производные до n-го порядка включительно
и такая, что подстановка этой функции
и ее производных в дифференциальное
уравнение обращает последнее в тождество
относительно x.
Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое его решение
,
которое
содержит столько независимых произвольных
постоянных
,
каков порядок этого уравнения.
В результате решения дифференциального уравнения нередко приходят к зависимости, в которой у явно не выражается через х, т. е. получают выражение
(2)
Равенство вида (2), неявно выражающее общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом этого дифференциального уравнения.
Во
многих случаях требуется находить
решения дифференциального уравнения,
удовлетворяющего некоторым дополнительным
условиям. Например, задача Коши состоит
в отыскании решения дифференциального
уравнения (1), определенного в некоторой
окрестности точки
и
удовлетворяющего начальным условиям
где
-
заданные числа.
При определенных условиях на правую часть уравнения (1) данная задача (задача Коши) имеет единственное решение. Это следует из так называемых теорем существования и единственности.
Кроме
задачи Коши для дифференциального
уравнения (1) решаются также краевые
задачи. Например, для дифференциального
уравнения второго порядка
отыскивают
решение на отрезке
такое,
что выполняются граничные (краевые)
условия
.
Пункт 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее производные и в общем виде записывается следующим образом:
,
где
x – независимая переменная,
–
искомая функция,
–
ее производная.
Разрешая
это уравнение (если возможно) относительно
,
получим
.
(3)
Полученное уравнение является частным случаем более общего дифференциального уравнения первого порядка
.
Такую запись дифференциального уравнения иногда называют дифференциальной формой записи уравнения.
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную:
.
Всякое
решение
уравнения
(3), получающееся из общего решения
при
конкретном значении
,
называется частным решением.
Если общее решение дифференциального
уравнения найдено в виде, не разрешенном
относительно y, т.е.
,
то оно называется общим интегралом
уравнения.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Для уравнений первого порядка (3) не существует единого метода решения для любой правой части, поэтому рассмотрим некоторые виды уравнений первого порядка и приемы, применяемые для их решения.
Пункт 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения вида (3), которое может быть представлено в виде
(4)
или
(5)
называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.
Метод
интегрирования таких уравнений состоит
в следующем. Если в уравнении (4)
производную
представить
в виде отношения дифференциалов
и
функция
не
равна нулю на рассматриваемом интервале,
то данное уравнение приводится к виду
.
(6)
Если
функции
в
уравнении (5) не равны нулю, то его можно
привести к виду
.
(7)
Полученные дифференциальные уравнения (6) и (7) называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделенными переменными.
Замечание.
При делении обеих частей уравнений (4)
и (5) на переменную величину ограничимся
случаем, когда эти величины отличны от
нуля (
,
)
и случай их равенства нулю отдельно
рассматривать не будем (как это делается
в классических курсах).
Проинтегрируем уравнение (6) почленно
или
,
(8)
где
.
Выражение (8) представляет собой общий
интеграл (общее решение) уравнения (4).
Аналогично интегрируя уравнение (7), получим его общий интеграл (общее решение) в виде
.
Замечание.
Иногда удобно записывать возникающую
при интегрировании произвольную
постоянную
в
виде
или
,
где k – произвольно выбранный множитель.
Примеры:
Решить дифференциальное уравнение
-
x dx + y dy = 0.
Решение:
;
-
с начальными условиями .
Решение:
Разделим все члены уравнения на (1+ex)(1+y2), в результате получим:
- общий интеграл.
Подставив вместо y, а 0 вместо x , получим: ; .
Подставив С = 1 в (3), получим частный интеграл: . Если равенство разрешить относительно у, то получим частное решение дифференциального уравнения: .
Решение:
;
;
;
;
;
.
Решение:
;
;
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям
;
- общий интеграл.
-
при
условии у(2) = 1.
Решение:
;
;
;
- общий интеграл.
При
у(2) = 1 получаем
Подставим
в общий интеграл:
или
-
частное решение.
Пункт 4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка
(9)
называется
однородным относительно переменных
x и y, если
–
однородная функция нулевой степени
относительно своих аргументов.
Дифференциальное уравнение первого порядка
(10)
называется
однородным относительно переменных
x и y, если
и
–
однородные функции одной и той же степени
k относительно своих аргументов.
Функция
называется
однородной степени k относительно
переменных x и y, если для произвольного
действительного числа a выполняется
равенство
.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (как уравнение (9), так и уравнение (10)) может быть представлено в виде
.
(11)
Метод
интегрирования однородных дифференциальных
уравнений состоит в следующем.
Однородное дифференциальное уравнение
приводится к виду (11). Вводится новая
переменная
или
,
где
(
),
и после подстановки в уравнение (11)
приходим к уравнению с разделяющимися
переменными относительно переменной
x и новой функции t(x).
Примеры:
Решить дифференциальные уравнения:
-
.
Решение:
Введем
вспомогательную функцию:
.
Подставляем в исходное уравнение:
Переходя
от вспомогательной функции обратно к
функции у, получаем общее решение: 
-
.
Решение:
Введем вспомогательную функцию .
Подставляем в исходное уравнение:
.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.
Вернемся к первоначальной переменной: - общий интеграл исходного уравнения.
Пункт 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
Дифференциальное уравнение вида
.
(12)
где
–
заданные непрерывные функции от x или
постоянные, называется линейным
дифференциальным уравнением первого
порядка.
Его
характерным признаком является наличие
лишь первых степеней функции
и
ее производной
.
Если
,
то линейное уравнение называется
неоднородным. Если
,
то уравнение
.
(13)
называется линейным однородным.
Для решения неоднородных линейных уравнений можно использовать: 1) метод Бернулли, или метод подстановки (аналогично тому, как это делалось для однородного относительно переменных x и y уравнения первого порядка); 2) метод вариации произвольных постоянных, или метод Лагранжа, который может быть также использован и для интегрирования линейных дифференциальных уравнений более высоких порядков.
Рассмотрим первый метод подстановки.
Будем искать решение неоднородного линейного уравнения в виде
.
(14)
Для
удобства аргумент x в дальнейшем будем
опускать. Тогда
.
Подставляя (14) в уравнение (12), получим
;
.
Если
функцию
выбрать
как некоторое решение уравнения с
разделяющимися переменными
(или
однородного линейного уравнения), то
исходное уравнение примет вид
.
Подставляя
найденное решение
в
данное уравнение, получим уравнение с
разделяющимися переменными относительно
переменной x и функции u(x). Если
–
общее решение полученного уравнения,
то общее решение исходного линейного
уравнения (12) примет вид:
,
или окончательная формула для определения
имеет
вид:
.
Таким образом, интегрирование линейного уравнения (12) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными, одно из которых является однородным.
Замечание.
Если вместо
и
подставить
полученное после интегрирования
значение, то получим, что общее решение
линейного, уравнения (12), равное сумме
общего решения соответствующего
однородного линейного уравнения (13) и
частного решения неоднородного линейного
уравнения (12).
Примеры:
-
.
Решение:
Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: . После этой подстановки данное уравнение примет вид: .
Вынесем за скобки u:
Найдем одну из функций v, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: . Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его.
Подставим найденную функцию в уравнение , найденное раньше.
.
Т.к. y = uv, то - общее решение данного уравнения.
-
.
Решение:
.
Теперь
для u(x) получим:
,
и общее решение уравнения
.
Для
нахождения частного решения,
соответствующего начальным условиям
задачи Коши, подставим в общее решение
.
Откуда
получаем частное решение:
.
Рассмотрим второй метод Лагранжа.
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) состоит в следующем.
1)
Составляется однородное линейное
уравнение (13) соответствующее неоднородному
линейному уравнению (12) за счет замены
правой части
на
ноль. Это уравнение легко проинтегрировать
как уравнение с разделяющимися
переменными. Его решением является
функция
,
где C – произвольная постоянная.
2) Общее решение неоднородного линейного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения, варьируя произвольную постоянную, т.е. полагая, что
,
где
–
некоторая, подлежащая определению,
дифференцируемая функция от x.
Для
нахождения
нужно
подставить
в
исходное уравнение, что приводит к
уравнению с разделяющимися переменными
,
которое имеет следующее решение:
,
где A – произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения примет вид
.
Как несложно заметить, полученное решение совпадает с решением, найденным методом Бернулли.
Пример:
-
Решить уравнение
Решение:
Разделим
уравнение на xy2:
Полагаем
.
Полагаем
Произведя обратную подстановку, получаем:
-
Решить уравнение
Решение:
Разделим
обе части уравнения на
:
Полагаем
Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:
Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в уравнение, с учетом того, что:
Получаем:
Применяя
обратную подстановку, получаем
окончательный ответ:
.
Пункт 6. Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальное
уравнение вида
,
где
,
называется уравнением в полных
дифференциалах, т.е. левая часть
такого уравнения есть полный дифференциал
некоторой функции
.
Если
это уравнение переписать в виде
,
то его общее решение определяется
равенством
.
Функция
может
быть найдена по одной из формул:
или
где
точка
принадлежит
области определения функций
,
.
Пример:
-
Решить уравнение
Решение:
Проверим
условие тотальности:
Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Определим функцию u.
;
Итого,
Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
Пункт 7. Дифференциальные уравнения в частных производных.
Примеры