5.9.2 Методы оптимизации

Выбор метода оптимизации процесса зависит от вида поверхности отклика. Если поверхность отклика представляет собой эллиптический параболоид, выбор оптимальных режимов не вызывает затруднений.

В случае на задачу максимум параметра оптимизации, оптимальные условия будут соответствовать координатам поверхности, если знаки коэффициентов отрицательны и центр расположен внутри изученной области факторного пространства. Если канонические коэффициенты положительны, то оптимальные условия будут на границе изученной области факторного пространства. В данном случае для вычисления значений факторов в оптимальном режиме необходимо в уравнение регрессии (1) подставить различные комбинации факторов х₁ и х₂ и вычислять значения у до тех пор пока не получим желаемый результат параметра оптимизации.

Например, можно задать следующие комбинации факторов:

 х₁=; х₂=;  х₁=-; х₂=-;  х₁=; х₂=-;  х₁=-; х₂=. 

Область факторного пространства в планах второго порядка ограничивается звездными точками ().

Решение на минимум параметра оптимизации проводят в обратном порядке.

При выборе оптимальных условий допускается некоторая экстраполяция с обязательной экспериментальной проверкой.

Если же поверхность отклика – гиперболический параболоид, то определение оптимальных режимов несколько усложняется. Здесь необходимо применять определенные методы оптимизации. Рассмотрим два метода, наиболее часто применяемых на практике в силу их простоты и надежности.

Первый метод – движение вдоль канонических осей.

Исходными данными здесь является уравнение регрессии в каноническом виде. В соответствии с поставленной задачей в канонической системе координат выбирают ось вдоль которой параметр оптимизации изменяется в желаемом направлении и с максимальной скоростью (канонический коэффициент имеет соответствующий знак и максимум по абсолютной величине). Затем, задаваясь различными значениями параметра оптимизации, вычисляют соответствующие им режимы и подвергают их опытной проверке. В связи с симметрией поверхности отклика каждому значению параметра оптимизации соответствует 2 режима. Поиск оптимального режима без исследования поверхности отклика обычно дает возможность выявить только один из этих режимов, причем, экспериментатор даже не подозревает о существовании второго режима, который может оказаться весьма интересным с точки зрения технологии.

В качестве примера рассмотрим применение этого метода к задаче с двумя факторами. Уравнение в канонической форме имеет следующий вид:

Ŷ - у_s=В₁₁Х²₁-В₂₂Х²₂, (5.68)

Положим, что в задаче требуется определить режим получения максимального выхода химического вещества. Тогда Ŷ>у_s, а движение осуществляется вдоль оси Х₁. При этом Х₂=0 и уравнение приобретает вид:

Ŷ - у_s=В₁₁*Х²_1, откуда

В формулу вместо Ŷ подставляем желаемое значение параметра оптимизации и получаем два значения фактора Х₁, т.е. получаем два оптимальных режима:

1-ый режим: Х₁=+ ( ( Ŷ - у_s)/В₁₁)^1/2, Х₂=0;

2-ой режим Х₁=- ( (Ŷ - у_s)/В₁₁)^1/2, Х₂=0.

Значения факторов получены в каноническом виде. Перевод из канонического в кодированный вид осуществляется по формулам (5.66). Далее следует перевести значения факторов в натуральный вид:

Х_i=X_i^ц + x_i_I (5.69)

Выбор более эффективного оптимального режима производят исходя из технологических и экономических соображений.

При решении задачи на минимум параметра оптимизации задаются соотношением Ŷ<у_s и движутся вдоль оси, соответствующей отрицательному каноническому коэффициенту. В этом случае:

Х₁=0 Х₂=±((Ŷ - у_s)/-В₂₂)^1/2

Схема расчета аналогична описанной выше.

Второй метод – «ридж-анализ».

«Ридж-анализ» базируется на методе неопределенных множителей Лагранжа. Для выбора оптимальных режимов составляют следующую систему уравнений:

(в₁₁-)*х₁+0,5*в₁₂*х₂+……….+0,5*в_1к*х_к+0,5*в₁=0

0,5*в₁₂*х₁+(в₂₂-)*х₂+ ………+0,5*в_2к*х_к=0,5*в₂=0

0,5*в₃₁*х₁+0,5*в₃₂*х₂+………+0,5*в_3к*х_к+0,5*в₃=0 , (5.70)

……………………………………………………….

0,5*в_к1*х₁+0,5*в_к2*х_к+……….+(в_кк-)*х_к+0,5*в_к=0

где  - неопределенный множитель Лагранжа.

Количество уравнений в системе равно (к) – количеству факторов. Решение системы может быть осуществлено только при заданных значениях . Выбор значений неопределенного множителя Лагранжа зависит от типа задачи. В случае задачи на максимум параметра оптимизации рекомендуется выбирать величину  таким образом, чтобы она была больше максимального из канонических коэффициентов. В случае задачи на минимум выбранное значение  должно быть меньше наименьшего из канонических коэффициентов. На изменения величины  накладывается ограничение, определяемое параметром Хорля:

' = 2(В_max,min-в_кк),

где В_max,min - максимальный или минимальный (в зависимости от задачи) канонический коэффициент,

в_кк - коэффициент регрессии при к-ом квадратичном члене уравнения в кодированном виде.

Использование параметра Хорля дает возможность сузить интервал изменения значений неопределенного множителя Лагранжа до величины, определяемой следующими неравенствами:

Если необходим У_max,

΄>=>В_max,

в случае У_min:

'<= <В_min.

При этом изменение параметра оптимизации в желаемую сторону соответствует изменению  в направлении от параметра Хорля к соответствующему каноническому коэффициенту. На практике обычно задаются несколькими значениями неопределенного множителя Лагранжа.

(в₁₁-)*х₁+0,5*в₁₂*х₂+0,5*в₁=0

0,5*в₁₂*х₁+(в₂-)*х₂=0,5*в₂=0

Откуда координаты оптимума:

х₁=(0,25*в₁₂*в₂-0,5*в₁(в₂₂-))/((в₁₁-)*(в₂₂-)-0,25*в²₁₂)

х₂=(0,25*в₁₂*в₁-0,5*в₂(в₁₁-))/((в₁₁-)*(в₂₂-)-0,25*в²₁₂)

Затем в уравнение регрессии (12.1) в кодированном виде подставляем полученные значения х₁ и х₂, вычисляем параметр оптимизации. Если полученное значение У не соответствует желаемому результату, изменяем значение неопределенного множителя Лагранжа, вычисляем х₁ и х₂, вычисляем У и так до тех пор пока не получим желаемый результат. Оптимальный режим получаем в кодированном виде, который затем переводим в натуральный по известной формуле (5.69).

Контрольные вопросы

1 Объяснить в чем сущность пассивного и активного экспериментов. В чем отличие активного и пассивного экспериментов, выполняемых в лабораторных условиях?

2 Перечислите виды параметров оптимизации и требования к ним. Что такое ранжирование факторов?

3 Перечислите виды факторов и требования, предъявляемые к ним. Дайте определение уровней факторов и интервалов варьирования.

4 В чем сущность полного факторного эксперимента. Порядок построения плана.

5 Кодирование переменных, правило построения матрицы. Рандомизация.

6 Перечислите свойства матрицы ПФЭ.

7 В чем сущность дробного факторного эксперимента? Дать определение понятий: дробная реплика, генерирующие соотношения, определяющие контрасты, смешанные оценки, насыщенные планы.

8 Обосновать порядок выбора плана ДФЭ .

9 Сущность и порядок регрессионного анализа.

10 В чем сущность метода симплексного планирования эксперимента?

11 Опишите порядок построения плана.

12 Отличается ли статистическая обработка результатов в этом методе от планов первого порядка?

13 Как интерпретировать результаты математического моделирования?

14 Какие решения принимаются после построения математической модели процесса (модель адекватна, модель неадекватна)?

15 В чем сущность оптимизации технологического процесса?

16 Сущность метода Гаусса-Зейделя.

17 Сущность градиентных методов.

18 Порядок расчета метода Бокса-Уилсона (метода крутого восхождения).

19 Охарактеризовать основные ситуации, возникающие в результате реализации метода Бокса – Уилсона и какие решения, в связи с этим, принимаются.

20 Сущность симплексного метода оптимизации.

21 Объясните, в каком случае переходят к планам второго порядка.

22 Опишите порядок построения план ПФЭ планов второго порядка.

23 Объясните в чем отличие матрицы ПФЭ плана второго порядка от матрицы плана первого порядка.

24 Обоснуйте необходимость применения центральных композиционных планов.

25 Опишите прядок достройки матрицы ПФЭ до центральных композиционных планов.

26 Обоснуйте необходимость применения ортогональных центральных композиционных планов.

27 Опишите порядок преобразования матрицы планирования в ортогональный вид.

28 Чем вызвана необходимость исследования поверхности отклика второго порядка?

29 Опишите порядок исследования поверхности отклика.

30 Как вычислить коэффициенты канонического уравнения регрессии?

31 Как классифицируются поверхности отклика по каноническим формам?

32 Расскажите, как получить оптимальный режим, если поверхность отклика – эллиптический параболоид?

33 В чем сущность метода оптимизации – движение вдоль канонических осей?

34 В чем основное преимущество этого метода?

35 В каком виде по этому методу получают оптимальный режим и как его перевести в натуральный вид?

36 В чем сущность метода – «ридж-анализ»?

37 В каком интервале должен находиться неопределенный множитель Лагранжа?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математическое моделирование имеет большое значение для химической технологии. Современная химическая промышленность имеет дело со столь сложными процессами и предъявляет к ним столь высокие требования, что разработать процесс без применения методов моделирования и оптимизации просто невозможно.

Математическая модель дает уникальную возможность исключительно быстро и экономично «проиграть» на ЭВМ множество предполагаемых вариантов реализации технологического процесса, что чрезвычайно расширяет кругозор инженера-технолога. Это проявляется особенно ярко, когда математическое моделирование приводит к неожиданным выводам.

Хорошая математическая модель содержит в скрытом виде очень много информации об оригинале, в том числе и такой, о которой не подозревает исследователь. Если описание процесса очень сложно и разуму не удается непосредственно извлечь из него скрытую информацию, необходимо привлечь математическое моделирование.

В процессе изучения данного курса студенты освоили основные методы планирования эксперимента и оптимизации технологического процесса. Узнали, как выбрать и реализовать план многофакторного эксперимента, дающего возможность получить математическую модель процесса при значительном сокращении количества экспериментов, что приводит к значительному снижению затрат на исследования и сокращению сроков разработки новых химико – технологических процессов.

Студенты научились проводить статистическую обработку результатов эксперимента и разрабатывать оптимальный режим технологического процесса, применяя современные методы и средства для выполнения необходимых расчетов. Узнали, как интерпретировать результаты математического моделирования, т.е. провести оценку величины и направления влияния отдельных факторов и их взаимодействий, сопоставить влияние совокупности факторов, проверку правильности априорных представлений и, в некоторых случаях, проверку и выдвижение гипотез о механизме процесса.

Полученные знания и умения могут быть использованы при выполнении курсовых и дипломных работ, а главное, в дальнейшей профессиональной деятельности.

В рамках изучаемого курса невозможно охватить всего многообразия существующих в настоящее время методов планирования и оптимизации технологических процессов. Этот курс является лишь введением в моделирование химико-технологических процессов, но в дальнейшем, в случае необходимости, этого объема знаний достаточно для того, чтобы разобраться в более сложных методах химической кибернетики.

ПЕРЕЧЕНЬ КЛЮЧЕВЫХ СЛОВ

1 Автоматизированные системы

2 Адекватность модели

3 Алгоритм моделирования

4 Активный эксперимент

5 Генеральная совокупность

6 Генерирующие соотношения