- •Модуль 1. Линейная алгебра Лекция 1. Матрицы и определители
- •1. Матрицы и их виды
- •2. Действия с матрицами
- •4. Умножение матрицы на число.
- •5. Вычитание матриц.
- •7. Возведение матрицы в степень.
- •3. Свойства действий с матрицами
- •4. Определители второго порядка
- •5. Определители третьего порядка
- •6. Алгебраические дополнения и миноры
- •7. Разложение определителя по строке или столбцу
- •Разложение определителя по -й строке:
- •Разложение определителя по -му столбцу:
- •8. Свойства определителей
- •9. Обратная матрица
- •Правило нахождения обратной матрицы
- •10. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка
- •11. Свойства обратной матрицы
- •Контрольные вопросы
Модуль 1. Линейная алгебра Лекция 1. Матрицы и определители
Матрицы и их виды
Действия с матрицами
Свойства действий с матрицами
Определители второго порядка
Определители третьего порядка
Алгебраические дополнения и миноры
Разложение определителя по строке или столбцу
Свойства определителей
Обратная матрица
Свойства обратной матрицы
1. Матрицы и их виды
Матрицей размерности называется таблица чисел, расположенных в строках и столбцах:
,
Матрицы обозначаются латинскими буквами А, В, С, …
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.
Каждый элемент имеет два индекса - номер строки, - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Для матриц используют обозначение или , .
Пример 1. Матрицы
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов ( ), называется квадратной, иначе матрица называется прямоугольной. Элементы квадратной матрицы , для которых , называются диагональными, а диагональ матрицы, на которой они находятся, - главной диагональю.
Примеры матриц различных видов:
Верхняя треугольная – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0:
|
Нижняя треугольная – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие выше главной диагонали, равны 0:
|
Диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, кроме диагональных, равны 0:
|
Единичная – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны , а остальные элементы равны :
|
Матрица-столбец: . |
Матрица-строка: . |
2. Действия с матрицами
1. Равенство матриц.
Матрица называется равной матрице , если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы равны.
2. Транспонирование матриц.
Если в матрице строки записать в виде столбцов с теми же номерами, то получим матрицу, транспонированную матрицу . Она обозначается .
Пример 2. Дана матрица . Получить матрицу .
Решение.
3. Сложение матриц.
Суммой матриц и одинаковой размерности называется матрица такой же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и : .
4. Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, у которой каждый элемент равен произведению элементов на число : .
Пример 3. Дана матрица . Найти , если .
Решение. .
Матрица называется противоположной для матрицы .
5. Вычитание матриц.
Разностью матриц одинаковой размерности А и В называется матрица D той же размерности, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В:
6. Умножение матриц.
Произведением матрицы на матрицу называется матрица , удовлетворяющая следующим условиям:
матрица существует, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя ;
элемент матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -ого столбца матрицы :
;
3) число строк матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов матрицы равно числу столбцов матрицы .
Порядок умножения матриц А и В очень важен. Число столбцов ( ) первого множителя должно равняться числу строк второго множителя. Вообще говоря, .
Пример 4. Даны матрицы и . Найти произведение .
Решение.
№ строки № столбца
, и так далее.
,
,
,
.
Итак, матрица .
Операции деления для матриц нет.