7. Возведение матрицы в степень.

-ой степенью матрицы называется такая матрица, которая получена умножением матрицы саму на себя раз:

.

3. Свойства действий с матрицами

Свойства операции транспонирования матриц.

Свойства операции сложения матриц

1. - коммутативность.

1. - ассоциативность.

1. – дистрибутивность относительно сложения матриц.

1. – дистрибутивность относительно сложения чисел.

Свойства умножения матрицы на число

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Свойства операции умножения матриц

1. _,

2. _,

3. 

4. 

5. 

6. _{в общем виде.}

4. Определители второго порядка

Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы. Определитель – это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:

• Дана матрица _. Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по правилу:

.

Пример 5. .

5. Определители третьего порядка

• Дана матрица . Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по правилу:

В каждом произведении нет чисел из одного столбца или одной строки.

Приведем схему для запоминания порядка получения слагаемых в определителе.

Произведение чисел на одной диагонали берется со знаком «+» (это главная диагональ матрицы), а на другой – с противоположным знаком.

Пример 6.

6. Алгебраические дополнения и миноры

Для вычисления определителей порядка больше третьего применяют другие способы вычисления.

• Минором элемента определителя называется определитель , полученный из определителя вычеркиванием -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Пример 7. Минор определителя есть .

• Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор , умноженный на : .

Полезно запомнить, что и .

Пример 8. В примере 7 .

7. Разложение определителя по строке или столбцу

Вычисление определителя -го порядка можно свести к вычислению определителей порядка , используя следующие формулы.

1. Разложение определителя по -й строке:

Это число, равное сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

2. Разложение определителя по -му столбцу:

Это число, равное сумме произведений элементов любого столбца на их алгебраические дополнения.

Пример 9. Вычислить определитель третьего порядка разложением по первой строке.

Решение

Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.

8. Свойства определителей

1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется: . Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например, _.

3. Определитель равен нулю, если:

а) он имеет нулевую строку (столбец) ;

б) он имеет пропорциональные (одинаковые) строки (столбец) .

4. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя. Например, .

5. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.

Например, .

6. Если в определителе каждый элемент какой-либо строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:

.

7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:

.

8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.