5.7.4 Симплексный метод оптимизации

Одним из методов поиска оптимального режима процесса является метод симплексов. Чаще всего для этого применяют регулярные симплексы.

Для оптимизации используется следующее важное свойство симплексов: напротив любой из его вершин А_i расположена только одна грань, на которой можно построить новый симплекс, отличающийся от прежнего расположением новой вершины , тогда как остальные вершины обоих симплексов совпадают. Последовательным исключением вершин осуществляется перемещение исходного симплекса в пространстве.

Суть этого метода очень проста:

Симплексным методом планируют исходную серию опытов и проводят эксперимент , получают значения параметра оптимизации. Затем выявляют вершину симплекса, отвечающую условиям, при которых получают наихудший параметр оптимизации Y, т.е. наименьший Y- если находим Y максимальный и наибольший Y – если требуется найти Y минимальный. Затем строится новый симплекс, для чего наихудшая точка исходного симплекса заменяется новой, расположенной симметрично относительно центра грани симплекса, находящегося напротив наихудшей точки, т.е. проводится отражение наихудшей точки относительно центра противоположной грани симплекса. Таким образом находятся условия для проведения нового опыта взамен исключенного. Процедуру повторяют до тех пор, пока следующая операция не вернет симплекс в предыдущее положение.

При достижении оптимальной точки, симплекс начинает вращаться вокруг нее.

При этом возможны 2 случая. Либо данные в точках последнего симплекса ошибочны, либо две противоположные плохие точки расположены по обе стороны гребня поверхности отклика. В последнем случае следует отказаться от выбранного направления и попытаться осуществить движение по другому, благоприятному направлению (при большом количестве факторов может быть несколько благоприятных направлений).

Область оптимума можно считать достигнутой, когда одна и та же точка будет повторяться в Q последовательных симплексах. Величина Q вычисляется по формуле:

Q = 1.65к + 0,05к² , (5.37)

где к – количество факторов.

Для к=2, Q=1,65*2 + 0,05*2² = 3,5 Q3.

Вычисления проводят следующим образом:

1. Вычисляют координаты центра грани, лежащей напротив наихудшей вершины симплекса ( Х_c)

, (5.38)

где Х_m - координата наихудшей точки симплекса;

X_ij - координаты предыдущих вершин симплекса.

2. Затем вычисляют координаты очередной вершины симплекса, т.е. условия проведения опыта в отраженной точке:

X_i+1 = 2X_c – X_m, (5.39)

Полученные значения X_i подставляют в уравнение регрессии (10.3), вычисляют Y_i , сравнивают с оставшимися Y_i , исключают наихудший результат Y_i и повторяют весь цикл заново, пока не получат желаемый результат Y_оптим.

Экспериментальное сравнение поиска оптимума методом симплексов и методом крутого восхождения показало, что оба метода приводят практически в одну оптимальную точку факторного пространства.

Лекция 14

а) Планы первого порядка.

б) Полный факторный эксперимент.

в) Центральные композиционные планы.

г) Ортогональные центральные композиционные планы.