3.3 Сравнение двух средних

Задача сравнения средних значений выборок (выборочных математических ожиданий) - также одна из самых распространенных. Цель сравнения - выявить, можно ли считать сравниваемые средние значения выборок (математических ожиданий) оценками одного и того же генерального математического ожидания, то есть являются ли сравниваемые средние однородными. Однородность сравниваемых средних говорит о том, что эти выборки принадлежат к одной генеральной совокупности. Необходимо заметить следующее: если сравниваемые выборки имеют неоднородные дисперсии, то процедура сравнения резко усложняется. В этом случае можно рекомендовать специальные методы, которые в данном курсе не рассматриваются. Рассматриваемый здесь метод предполагает, что дисперсии однородны, то есть .

Предварительно рассчитываем среднюю дисперсию по формуле:

(8)

где - выборочные дисперсии первой и второй выборок;

, степени свободы сравниваемых выборок.

Для сравнения двух средних арифметических используют критерий Стьюдента (t - критерий). Расчетное значение критерия Стьюдента вычисляют по следующей формуле:

(9)

где X₁,Х₂ - средние арифметические (математические ожидания) сравниваемых выборок;

n ₁,n₂ -объем сравниваемых выборок.

Табличный критерий Стьюдента находится по таблице Б.4“Квантили распределения Стьюдента”, который зависит от числа степеней свободы выборок (f) и уровня значимости (). Число степеней свободы выборок , при этом следует учесть, что ; . Если , то и есть оценки одного генерального математического ожидания, а выборки относятся к одной генеральной совокупности.

При сравнении нескольких средних можно также использовать критерий Стьюдента, проводя сравнения попарно. Однако, для использования при сравнении полной информации о всех средних такое сравнение проводят при помощи множественного рангового критерия Дункана. В данном курсе этот метод не рассматривается.

4 Пример выполнения лабораторной работы

Метод проверки статистических гипотез можно использовать для сравнения эффективности двух технологических процессов. Рассмотрим это на следующем примере:

Условие задачи. Очистку химического вещества от примесей железа проводили двумя различными способами. Необходимо определить какой способ очистки эффективнее. Результаты опытов (по 7 опытов по каждому способу) приведены в таблице 2.

Таблица 2 Результаты опытов по первому и второму способам

№	содержание Fe,%
опыта	1 способ	2 способ
	Х1	Х2
1	0.050	0.039
2	0.047	0.032
3	0.045	0.051
4	0.057	0.045
5	0.050	0.041
6	0.040	0.034
7	0.100	0.038

; ;

; ;

Расчет проводится в следующей последовательности:

1 Проверка анормальности результатов

а) вычисляем по формулам (1), (2) математическое ожидание и дисперсии выборок Х₁ и Х₂;

б) Вычисляем статистики по формулам (3) для выборок X₁ и X₂ :

для выборки получаем:

;

для выборки получаем:

;

По таблице Б.1 находим квантиль распределения  при объеме выборки равном 7 и уровне значимости  = 0,05

;

Сравнение с вычисленными статистиками показывает, что максимальный элемент выборки анормален, так как 2.2>1.94, а остальные результаты однородны.

Анормальный результат исключаем из выборки. В выборке осталось 6 опытов. Далее необходимо проверить в оставшейся выборке максимальный элемент на анормальность. Для этого следует пересчитать математическое ожидание и дисперсию оставшейся выборки

;

вычисляем U_max=(0.053- 0.0475)/ = 1.22

_табл.=1,82 при n=6, =0,05;

U_max=1,22=1,82

следовательно, результаты однородны.

2 Проверка однородности двух дисперсий

а) вычисляем расчетный критерий Фишера по формуле (6)

F_расч.==1,99

F_табл.= 5.0 при числе степеней свободы числителя (выборка X₂) f2=n-1=7-1=6, a знаменателя (выборка X₁ ) f₁=(n -1) = 6 -1 =5, уровене значимости  =0.05

F_расч.<F_табл.; 1,99 < 5.0

Следовательно, дисперсии однородны и можно продолжать расчеты дальше.