3.1.1 Проверка однородности (анормальности) измерений по квантилям распределения .

Имеется упорядоченная выборка X₁ , X₂ , X₃ ,...X_n значений случайной величины X.

а) Вычисляется математическое ожидание выборки

(1)

где n – объем выборки;

x_i – значения случайных величин;

б) вычисляется выборочная дисперсия ( ) и среднеквадратическое отклонение (S_x).

(2)

Вначале оценивается принадлежность крайних элементов выборки X_min, X_max к данной нормальной совокупности.

Для этого составляются статистики (U_max, U_min)

(3)

подчиняющиеся  - закону распределения, который зависит только от объема выборки (n). Значения квантилей распределения находятся по таблице Б.1 (Приложение Б). Полученные значения U_max и U_min сравнивают с величиной , взятой из таблицы для данного объема выборки и принятого уровня значимости (= 0.05),

если U _{min max}  (4)

то результат X_min или X_max анормален и из выборки исключается. Все параметры выборки после этого нужно пересчитать. В противном случае результаты считают однородным и из выборки не исключают.

3.2 Сравнение двух или нескольких дисперсий

При обработке результатов измерений характеристик технологического процесса часто возникает необходимость сравнить две или несколько дисперсий. Цель сравнения - выявить, можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии, то есть, являются ли сравниваемые дисперсии однородными.

3.2.1 Сравнение двух дисперсий

Рассмотрим две выборки:

X₁,X₂,X₃,.....X_n; Y₁,Y₂,Y₃,...Y_k;

а) вычисляем математическое ожидание каждой выборки по формулам:

б) вычисляем выборочные дисперсии:

;

;

где n- объем выборки X;

к- объем выборки Y.

в) вычисляем степени свободы выборок (f_n, f_k)

f_n = n -1 ; f_k = k - 1; (5)

Проверка однородности двух дисперсий производится по критерию Фишера (F - распределение). F - распределение зависит от числа степеней свободы выборок f_x , f_k и уровня значимости .

Вычисляем расчетный критерий Фишера (F) по формуле

(6)

при условии, что , в противном случае .

Затем по таблице Б.2 выбираем критерий Фишера. Дисперсии однородны (являются оценкой одной генеральной дисперсии) если F_расч.F_табл . В противном случае дисперсии неоднородны, следует более внимательно проверить анормальность результатов и проверить однородность дисперсий заново.

3.2.2 Сравнение нескольких дисперсий

Сравнение нескольких дисперсий проводят по критерию Кохрена или Бартлета. Если выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объемов, то есть с равными степенями свободы, то для их сравнения используют критерий Кохрена (G):

(7)

где -выборочная дисперсия каждой выборки,

-максимальная выборочная дисперсия,

n - количество суммируемых дисперсий.

Затем по таблице Б.3 “Квантили распределения Кохрена” находят табличный критерий Кохрена (G табл.), который зависит от количества степеней свободы (f), при оценке каждой из (f = n -1), от количества дисперсий (n) и от уровня значимости  .

Если G _расч. окажется меньше G _табл. дисперсии однородны, то есть являются оценкой одной генеральной дисперсии. В противном случае дисперсии неоднородны и следует проверить анормальность результатов измерений в каждой выборке, в первую очередь в выборке, по результатам которой вычислена , a затем повторить все расчеты заново.

Если выборочные дисперсии получены по выборкам разного объема, то есть с разными степенями свободы, то проверка их однородности проводится по критерию Бартлета. Но расчет этого критерия несколько трудоемок. В этом случае можно пользоваться сравнением по критерию Фишера. Этот метод менее точен, но предельно прост.

Для расчета критерия Фишера в данном случае можно взять наибольшую и наименьшую из сравниваемых дисперсий. При этом . F_табл. находится по таблице Б.2 “Квантили распределения Фишера” аналогично, описанному в разделе 3.2.1.

Если , дисперсии однородны.