15.3. Понятие сложной и обратной функции.

15.3.1. Понятие сложной функции.

Пусть задана функция y=f(x) с областью определения D(f) и множеством значений E(f), а функция z=g(y) определена на множестве D(g), причем E(f)D(g). Тогда на множестве D(f) определена функция z=F(x)=g[f(x)], которая называется сложной функцией от независимой переменной х (или функцией от функции), а переменная у – промежуточной переменной сложной функции (см. рис. 15.9).

Е

f

z=g(y)=g[f(x)]

сли, например, z=x², а y=sin z, то можно образовать сложную функцию y=sin x². Если же z=sin x, а y=z², то можно образовать сложную функцию y=(sin x)²=sin² x.

15.3.2. Понятие обратной функции.

Функция y=f(x) с областью определения D(f) и множеством значений E(f) называется взаимно однозначной, если выполняется условие: x₁, x₂ D(f)

f(x₁)= f(x₂) => x₁=x₂, другими словами, различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции: х₁х₂ => f(x₁) f(x₂).

Пример 15.2. Функция y = x² не является взаимно однозначной, а функция y = x³ взаимно однозначна (см. рис. 15.10)

Геометрически: функция y=f(x) взаимно однозначна, если любая горизонтальная прямая y=c=const пересекает график функции не более чем в одной точке. Так, любая прямая y=c , сR пересекает график функции y = x³ только в одной точке и она взаимно однозначна.

З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):

П усть функция y=f(x) с областью определения D(f) и множеством значений E(f) взаимно однозначна. Тогда для каждого значения функции y E(f) существует единственное значение аргумента х D(f) такое, что f(x)= у.

Это означает, что на множестве E(f) определена функция, ставящая в соответствие каждому y E(f) то единственное число х D(f), для которого y=f(x).

Так определенная функция называется обратной к функции y=f(x) и обозначается x = (y) = f -1(у). Область определения обратной функции D() = E(f), а множество значений E() = D(f), т.е. область определения и множество значений функции f и  меняются местами.

Из определения обратной функции вытекает, что обратной к функции  = f - 1 является функция f , поэтому функции f и  называются взаимно обратными. Из определения взаимно обратных функций вытекает, что

[ f(x) ] = x  xD(f) = E(),

f[ (y) ] = y  y E(f) = D() .

Графики прямой y = f (x) и обратной к ней функции x = (y) изображаются одной и той же кривой, т.е. их графики совпадают. Действительно,

Г_f = { (x,y) : x  D(f) и y = f(x)  E(f) } =

= { (x,y) : x = (y)  E() и y D() } =

= { (x,y) : y D() и x = (y)  E() } = Г_f .

Пусть функция y = f(x) имеет обратную функцию x = (y). В записи обратной функции независимую переменную обозначим, как обычно, через х, а зависимую переменную через у , то обратная к y = f(x) функция запишется в виде у = (х). Перемена местами x и y геометрически означает симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, т.е. относительно прямой у = х. Поэтому графики взаимно обратных функций y = f(x) и у = (х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (см. рис. 15.12).

Отметим, что монотонные функции взаимно однозначны, поэтому имеют обратные, которые имеют тот же характер монотонности, что и прямые функции: если функция f возрастает (убывает), то и обратная к ней функция  = f - 1 возрастает (убывает). Это непосредственно вытекает из определения взаимно обратных функций.