8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
Найдем расстояние d от точки М0(х0; у0; z0) до плоскости α: Ах+By+Cz+D=0.
Решение этой задачи аналогично решению задачи об отыскании расстояния от точки до прямой на плоскости. Справедлива формула
D=
(8.6)
8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
Рассмотрим
две плоскости
и
.
Взаимное расположение этих плоскостей
полностью характеризуется взаимным
расположением
их нормальных векторов
1={А1;В1;С1}
и
2={А2;В2;С2}.
В частности, угол φ между плоскостями
равен углу между их нормальными векторами
(см. рис. 8.5а) и
.
Условие параллельности плоскостей (см. рис. 8.5б):
α1||
α2
||
=
=
.
Условие ортогональности плоскостей (см. рис. 8.5в)
α1
α2
А1А2+В1В2+С1С2=0.
8.2. Уравнение прямой в пространстве.
8.2.1. Векторное уравнение прямой.
Прямая вполне определена, если известна точка, через которую прямая проходит, и направляющий вектор прямой. Напомним, что направляющим вектором прямой называется любой вектор, параллельный данной прямой.
Пусть прямая l проходит через точку М0(х0; у0; z0) и вектор ā={l; m; n} является его направляющим вектором.
Возьмем
произвольную точку М(х,
у, z)
прямой и рассмотрим радиусы-векторы
0
=
0
и
=
точек М0
и М
соответственно. Из ∆ОМ0М
(см. рис. 8.6) по правилу сложения векторов
получим
=
0+
0.
Векторы
и ā коллинеарны,
||ā,
поэтому
=ā•t,
где t
- числовой множитель, называемый
параметром. Итак, мы получаем векторное
уравнение прямой
(8.7)
8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
Запишем
векторное уравнение (8.7) в координатной
форме так как
0
=
0={х0;
у0;
z0}
и
=
={х,
у, z},
то уравнение (8.7) можно записать в виде
{х;
у;
z}={lt;
mt;
nt}+{х0;
у0;
z0}=
={lt+х0;mt+у0;nt+z0}.
Если векторы равны, то равны и их одноименные координаты в последнем равенстве, получим параметрическое уравнение прямой в пространстве:
(8.8)
8.2.3. Канонические уравнения прямой.
С
оставим
уравнение прямой l,
проходящей через точку
М0(х0;
у0;
z0)
с данным направляющим вектором ā= {l,m,n}
(см. рис. 8.7).
Пусть
М(х;
у;
z)-
произвольная точка прямой l,
тогда векторы
={х-х0;
у- у0;
z-
z0}
и ā={l;
m;
n}
коллинеарны, а их координаты пропорциональны:
. (8.9)
это и есть канонические уравнения прямой в пространстве.
Эти уравнения можно получить также из параметрических уравнений прямой (8.8), исключив параметр t.
8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
С
оставим
уравнение прямой l,
проходящей через две точки М1(х1;
у1;
z1)
и М2(х2;
у2;
z2)
(см. рис. 8.8).
={х2-х1;
у2-
у1;
z2-
z1}
является направляющим вектором этой
прямой. Учитывая, что прямая l
проходит через точку М1(х1;
у1;
z1),
из уравнения (8.9) получим уравнение
прямой, проходящей через точки
М1
и М2:
(8.10)
8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
Пусть
прямая линия l
является линией пересечения двух
непараллельных плоскостей α1
и α
2
(см. рис. 8.9), заданных своими уравнениями
и
.
Координаты каждой точки прямой l удовлетворяют каждому из этих уравнений, т.е. системе уравнений
(8.11)
эти уравнения называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Замечания.
-
Взаимное расположение двух прямых полностью определяется взаимным расположением их направляющих векторов.
-
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве полностью определяется взаимным расположением направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
В
качестве примера рассмотрим задачу о
нахождении угла между прямой l,
заданной уравнениями
и плоскостью π, заданной уравнением
Ах+By+Cz+D=0.
Обозначим
через α острый угол между прямой l
и плоскостью π, а через φ- угол между
нормальным вектором
={А;В;С}
плоскости π и направляющим вектором ā=
{l,m,n}
прямой l.
Возможны два случая: а) угол φ- острый,
б) угол φ- тупой (см. рис. 8.10).
В
первом случае
Во
втором случае
Окончательно получаем формулу:
.