Экспоненциальная модель

Экспоненциальная модель у = е^a+bx ε сводится к линейной регрессии при помощи следующих преобразований:

у^*=ln y, у^*=а+b х (4.4)

Полиномы разных степеней

Полиномы различных степени сводятся к множественной линейной регрессии при помощи следующих преобразований:

х*₁=х, х*₂=х², х*₃=х³,…,х*_m=x^m у=a+b_1∙x*₁+b₂ x*₂+…+b_m x*_m+ε. (4.5)

Например, кубическая зависимость (рис.4.1.2), y = a + b₁ x + b₂ x² + b₃ х³+ в микроэкономике моделирует зависимость общих издержек (y) от объема выпуска (х):

Рис. 4.1.2 Кубическая зависимость

Аналогично квадратичная функция (рис.4.1.3) y = a + b₁ x + b₂ x² +, может отражать зависимость между расходами на рекламу (х) и прибылью (у):

Рис. 4.1.2 Квадратичная зависимость

В таблице 4.1.1 приведены преобразования, с помощью которых нелинейные функции становятся линейными с новыми переменными и коэффициентами.

Таблица 4.1.1

Линеаризация для различных видов моделей

Функция	Преобразования переменных		Преобразования коэффициентов
	Y*	X*	A	B
	y		a	b
		x	a	b
		x	a	b
		x
		x		b
			a	b
				b
	y		a	b
		x
	y		a	b

4.2 Оценка качества нелинейной связи

При криволинейной зависимости в качестве меры тесноты связи между показателями х и у используется корреляционное отношение (или индекс корреляции). Индекс корреляции рассчитывается по формуле:

(4.6)

Границы корреляционного отношения находятся в пределах от 0 до 1. Индекс корреляции следует рассматривать как показатель не только тесноты связи, но и степени близости линии регрессии к фактическим данным.

Также для анализа качества уравнения нелинейной регрессии можно использовать среднюю ошибку аппроксимации (см. формулу 2.9)

Статистическую значимость построенного уравнения нелинейной регрессии можно проверить с помощью F – критерия Фишера (см. формулу 3.7). Для оценки статистической значимости параметров нелинейной регрессии используют t – критерий Стьюдента (см. формулы 3.8 и 3.9)

Пример 1. По семи территориям Волжского региона за 2005 г. известны значения двух признаков (табл. 4.2.1).

Таблица 4.2.1

Зависимость расходов от среднедневной заработной платы

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Нижегородская обл.	68,8	45,1
Кировская обл.	61,2	59,0
Владимирская обл.	59,9	57,2
Ивановская обл.	56,7	61,8
Самарская обл.	55,0	58,8
Ярославская обл.	54,3	47,2
Саратовская обл.	49,3	55,2

Требуется:

1. Для характеристики зависимости расходов на покупку продовольственных товаров (у) от среднедневной заработной платы одного работающего (х) рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) равносторонней гиперболы;

2. Оценить силу построенной зависимости.

3. Оценить качество каждой модели через среднюю ошибку аппроксимации А и коэффициент детерминации R² .

4. Доказать статистическую значимость каждой модели по F-критерию Фишера и статистическую значимость найденных параметров по t – критерию Стьюдента.

5. По самой качественной модели спрогнозировать долю расходов на покупку продовольственных товаров, если среднедневная заработная плата одного работающего измениться до 50 руб и до 65 руб

Решение:

Построим корреляционное поле для исходных данных.

По расположению точек на корреляционном поле можно предположить, что зависимость между расходами на покупку продовольственных товаров и среднедневной заработной платы одного работающего нелинейная.

Линейная модель

Для расчета параметров а и b линейной регрессии y = a+ b x решаем систему уравнений (2.6) относительно а и b:

По исходным данным рассчитываем: и заполняем в расчетной таблице первые шесть столбцов (табл. 4.2.2).

Таблица 4.2.2