- •§ 1. Внутренняя геометрия кристаллов
- •§ 2. Химические связи в кристаллах
- •§ 3. Рост кристаллов
- •§ 4. Кристаллические решетки
- •§ 5. Симметрии в двух измерениях
- •§ 6. Симметрии в трех измерениях
- •§ 7. Прочность металлов
- •§ 8. Дислокации и рост кристаллов
- •§ 9. Модель кристалла по Брэггу и Наю
- •Глава 31
- •§ 2. Преобразование компонент тензора
- •§ 3. Эллипсоид энергии
- •§ 4. Другие тензоры; тензор инерции
- •§ 5. Векторное произведение
- •§ 6. Тензор напряжений
- •§ 7. Тензоры высших рангов
- •§ 8. Четырехмерный тензор электромагнитного импульса
- •§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике
- •§ 3. Волны в диэлектрике
- •§ 4. Комплексный показатель преломления
- •§ 5. Показатель преломления смеси
- •§ 6. Волны в металлах
- •§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота
- •Глава 33
- •§ 2. Волны в плотных материалах
- •§ 3. Граничные условия
- •§ 4. Отраженная и преломленная волны
- •§ 5. Отражение от металлов
- •§ 6. Полное внутреннее отражение
- •Глава 34
- •§ 2. Магнитные моменты и момент количества движения
- •§ 3. Прецессия атомных магнитиков
- •§ 4. Диамагнетизм
- •§ 5. Теорема Лармора
- •§ 6. В классической физике пет ни диамагнетизма, ни парамагнетизма
- •§ 7. Момент количества движения в квантовой механике
- •§ 8. Магнитная энергия атомов
- •Глава 35
- •§ 2. Опыт Штерна — Герлаха
- •§ 3. Метод молекулярных пучков Раби
- •§ 4. Парамагнетизм
- •§ 5. Охлаждение адиабатическим размагничиванием
- •§ 6. Ядерный магнитный резонанс
- •Глава 36 ферромагнетизм
- •§ 2. Поле н
- •§ 3. Кривая намагничивания
- •§ 4. Индуктивность с железным сердечником
- •§ 5. Электромагниты
- •§ 6. Спонтанная намагниченность
- •Глава 37
- •§ 2. Термодинамические свойства
- •§ 3. Петля гистерезиса
- •§ 4. Ферромагнитные материалы
- •§ 5. Необычные магнитные материалы
- •§ 2. Однородная деформация
- •§ 3. Кручение стержня; волны сдвига
- •Собирая теперь все воедино, находим
- •§ 4. Изгибание балки
- •§ 5. Продольный изгиб
- •Глава 39
- •§ 2. Тензор упругости
- •§ 3. Движения в упругом теле
- •§ 4. Неупругое поведение
- •§ 5. Вычисление упругих постоянных
- •Течение «сухой» воды
- •§ 2. Уравнение движения
- •§ 3. Стационарный поток; теорема Бернулли
- •§ 4. Циркуляция
- •§ 5. Вихревые линии
- •§ 2. Вязкий поток
- •§ 3. Число Рейнольдса
- •§ 4. Обтекание кругового цилиндра
- •§ 5. Предел пулевой вязкости
- •§ 6. Поток Куеттэ
- •2. Method of formation
- •Sir Lawrence Bragg and j. F. Nye
- •3. Grain boundaries
- •4. Dislocations
- •1. Пузырьковая модель
- •2. Способ образования пузырьков
- •3. Границы зёрен
- •4. Дислокации
§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота
Наш результат для показателя преломления в металлах —формула (32.42) — предсказывает для распространения волн с разными частотами совершенно различные характеристики. Прежде всего давайте посмотрим, что получается при низких частотах. Если величина достаточно мала, то (32.42) можно приближенно записать в виде
Возведением в квадрат можно проверить, что
таким образом, для низких частот
Вещественная и мнимая части n имеют одну и ту же величину. С такой большой мнимой частью n волны в металлах затухают очень быстро. В соответствии с выражением (32.36) амплитуда волны, идущей в направлении оси z, уменьшается как
Запишем это в виде
е-z/, (32.47)
где — это то расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е=2,72 раза, т. е. приблизительно в 3 раза. Амплитуда такой волны, как функция от z, показана на фиг. 32.3.
Фиг. 32.3. Амплитуда поперечной электромагнитной волны в металле как функция расстояния.
Поскольку электромагнитные волны проникают в глубь металла только на это расстояние, величина называется глубиной скин-слоя и определяется выражением
Но что все-таки мы понимаем под «низкими» частотами? Взглянув на уравнение (32.42), мы видим, что его можно приближенно заменить уравнением (32.44), только когда много меньше единицы и когда 0/ также много меньше единицы, т. е. наше низкочастотное приближение применимо при
<<1/
и
<</0. (32.49)
Давайте посмотрим, какие частоты соответствуют этому приближению для такого типичного металла, как медь. Для вычисления воспользуемся уравнением (32.43), а для вычисления /0 — известными значениями и 0. Справочник дает нам такие данные:
=5,76•107 (ом•м)-1,
Атомный вес = 63,5 г,
Плотность = 8,9 г/см3,
Число Авогадро=6,02•1023.
Если мы предположим, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону, то число электронов в кубическом метре будет равно
N=8,5•1028 м-3.
Используя далее
qe=1,6•10-19 кулон,
0=8,85•10-12 ф/м,
m=9,11•10-31 кг,
получаем
=2,4•10-14 сек,
1/=4,l•1013 сек-1,
/0 = 6,5•1018 сек-1.
Таким образом, для частот, меньших чем приблизительно 1012 гц, медь будет иметь описанное нами «низкочастотное» поведение. (Это будут волны с длиной, большей 0,3 мм, т. е. очень короткие радиоволны!)
Для таких волн глубина скин-слоя равна
Для микроволн с частотой 10 000 Мгц (3-сантиметровые волны)
=6,7•10-4 см,
т. е. волны проникают на очень малое расстояние.
Теперь вы видите, почему при изучении полостей (и волноводов) нам нужно беспокоиться только о полях внутри полости, а не о волнах в металле или вне полости. Кроме того, мы видим, почему серебрение или золочение полости уменьшает потери в ней. Ведь потери происходят благодаря токам, которые ощутимы только в тонком слое, равном глубине скин-слоя.
Рассмотрим теперь показатель преломления в металле типа меди при высоких частотах. Для очень высоких частот сот много больше единицы, и уравнение (32.42) очень хорошо аппроксимируется следующим:
Для высокочастотных волн показатель преломления в металлах становится чисто вещественным и меньшим единицы! Это следует также из выражения (32.38), если пренебречь диссипативным членом с 7, что может быть сделано при очень больших значениях . Выражение (32.38) дает при этом
что, разумеется, эквивалентно уравнению (32.50). Раньше нам
уже встречалась величина (Nq2e/0m)1/2, которую мы назвали
плазменной частотой (см. гл. 7, § 3, вып. 5);
Таким образом, (32.50) или (32.51) можно переписать в виде
Эта плазменная частота является своего рода «критической». Для <р показатель преломления металла имеет мнимую часть и происходит поглощение волн, но при >>p показатель становится вещественным, а металл — прозрачным. Вы знаете, конечно, что металлы в достаточной мере прозрачны для рентгеновских лучей. Но некоторые металлы прозрачны даже для ультрафиолета. В табл. 32.3 мы приводим для некоторых металлов экспериментально наблюдаемые длины волн, при которых эти металлы начинают становиться прозрачными. Во второй колонке дана вычисленная критическая длина волны p =2c/p . Учитывая, что экспериментальная длина волны определена не очень хорошо, согласие с теорией следует признать замечательным.
Таблица 32.3 • длины волн, при которых МЕТАЛЛ СТАНОВИТСЯ ПРОЗРАЧНЫМ
Вас может удивить, почему плазменная частота р должна иметь отношение к распространению волн в металлах. Плазменная частота появилась у нас в гл. 7 (вып. 5) как собственная частота колебаний плотности свободных электронов. (Электрическое расталкивание группы электронов и их инерция приводят к колебаниям плотности.) Продольные волны плазмы резонируют при частоте . Но сейчас мы говорим о поперечных волнах, и мы уже нашли, что при частотах, меньших р, происходит их поглощение. (Это очень интересное и отнюдь не случайное совпадение.)
Хотя мы все время говорили о распространении волн в металлах, вы одновременно, должно быть, почувствовали универсальность явлений физики: нет никакой разницы в том, находятся ли свободные электроны в металле, в плазме, в ионосфере Земли или в атмосфере звезд. Чтобы понять распространение радиоволн в ионосфере, можно воспользоваться тем же выражением, разумеется, при надлежащих значениях величин N и . Теперь мы можем видеть, почему длинные радиоволны поглощаются или отражаются ионосферой, тогда как короткие свободно проходят через нее. (Поэтому для связи с искусственными спутниками Земли должны применяться короткие волны.)
Мы говорили о распространении предельных высоко- и низкочастотных волн в металлах. Для промежуточных же частот необходимо использовать «полновесное» уравнение (32.42). В общем случае показатель преломления будет иметь вещественную и мнимую части, и при распространении волн в металлах происходит их поглощение. Очень тонкие слои металла прозрачны даже для обычных оптических частот. В качестве примера приведем специальные защитные очки для рабочих, работающих около высокотемпературных печей. Эти очки изготавливаются напылением на стекло очень тонкого слоя золота; стекло это достаточно прозрачно для видимого света и на просвет выглядит как зеленое, но инфракрасные лучи сильно поглощает.
И, наконец, от читателя невозможно скрыть тот факт, что многие из этих формул в некотором отношении напоминают формулы для диэлектрической проницаемости , рассмотренные в гл. 10 (вып. 5). Диэлектрической проницаемостью измеряется реакция материала на статическое электрическое поле, т. е. когда =0. Если вы посмотрите повнимательнее на определение n и , то обнаружите, что есть не что иное, как предел n2 при 0. В самом деле, положив в уравнениях этой главы =0 и n2=, мы воспроизведем уравнения теории диэлектрической проницаемости гл. 11 (вып. 5).
* Или записав — i=е-i/2; -i=e-i/4 = соs/4- isin/4, что приводит к тому же результату.
* Взяты из справочника «Handbook of Physics and Chemistry».
* Всюду в этой главе мы будем пользоваться обозначениями, принятыми в гл. 31 (вып. 3); пусть — атомная поляризуемость, как это определено здесь. В предыдущей главе мы пользовались буквой для обозначения объемной поляризуемости, т. е. отношения Р к Е. Но в обозначениях этой главы P=N0E [см. выражение (32.8)].