2.2 Задача 2 – Производственная задача

Цель составления плана заключается в распределении производства хлеба четырех сортов между печами четырех систем таким образом, чтобы их производственные мощности использовались более полно, а издержки производства при этом были наименьшими

Для решения производственно-экономических задач, в которых соотношения в производительности разных машин при выпуске разной продукции установить невозможно, применяются специальные способы распределения и проверки его на оптимальность. Одним из таких способов является ламбда-метод (ламбда-алгоритм). Исходные данные:

		Виды продукции и спрос на нее					Потенциал строки ui
Виды оборудования и фонд времени его работы		В1	В2	В3	В4	Вф
		110	350	220	410
А1	55	10 3	12 2	15 5	4 4	1 0
А2	72	10 8	12 2	10 5	20 10	1 0
А3	60	12 3	8 8	2 1	10 3	1 0
А4	30	10 5	7 7	10 5	10 5	1 0
Потенциал столбца vj

В левом верхнем углу таблицы записана суточная производительность печей, в правом верхнем - издержки производства на 1 т. Данная задача имеет открытую модель, поэтому в столбце В_ф показан фиктивный продукт. При использовании ламбда-алгоритма модель задачи обычно бывает открытой, по этому фиктивный столбец выделяется сразу же при построении таблицы. В его клетках издержки производства принимаются нулевыми, а производительность - равной единице.

В таблице, имеющей необходимую информацию, решение начинается с распределения дней работы печей на выпуске определенных сортов хлеба. Дни работы распределяются с учетом элементов клеток по обычным правилам. Первоначальное распределение произведем способом определения максимального значение отношения производительности и затрат (составим вспомогательную таблицу):

3,3	6	3	1
1,25	6	2	2
4	1	2	3,3
2	1	2	2

План, в котором показаны исходное распределение рабочих дней и уровни издержек производства, представлен в следующей таблице:

Виды оборудования и фонд времени его работы		Виды продукции и спрос на нее					Потенциал строки ui
		В1	В2	В3	В4	Вф
		110	350	220	410
А1	55	10 3 30 30	12 2 24 24	15 5 14,17 75	4 4 16 12	1 0 40,83	0
А2	72	10 8 80 30	12 2 29,17 24	10 5 50 50	20 10 200 60	1 0 42,83	0
А3	60	12 3 9,17 36	8 8 64 16	2 1 2 10	10 3 41 30	1 0 9,83	0
А4	30	10 5 50 30	7 7 49 14	10 5 50 50	10 5 50 30	1 0 30	0
Потенциал столбца vj		3	2	5	3	0

Суммарные издержки производства определяются путем суммирования произведений числа рабочих дней на уровни соответствующих им издержек производства. Для исходного плана суммарные издержки:

F₁ = 9,17*36+29,17*24+14,17*75+41*30 = 3322,95 р.

Для проверки плана на оптимальность применяется метод потенциалов в преобразованном виде.

Потенциал строк соответствует дневным издержкам производства, а столбцов - издержкам на 1 т. Но так как дневные издержки равны издержкам на 1 т, умноженным на суточную производительность, то элемент (в заполненной клетке) должен равняться сумме потенциала строки и потенциала столбца, умноженного на соответствующую суточную производительность :, откуда потенциал строки ,

потенциал столбца .

После определения потенциалов строк и столбцов для свободных клеток рассчитываются суммы потенциалов , величина которых проставляется в клетках. Сравнение в клетках суммы потенциалов с величиной элемента показывает, что исходный план не оптимальный, так как в двух клетках сумма потенциалов превышает величину элемента. Единственная клетка имеет превышение - А₃В₃ (10-2=8), следовательно, ее нужно заполнять. Строим цепь перераспределения.

Обозначим изменение величин, связанное с заполнением свободной клетки, буквой (дельта) и используем ее для составления уравнений по строкам и столбцам.

Если условно принять, что , то с помощью подстановок можно вычислить все остальные ∆_ij: ∆₁₃=-0,13, ∆_1ф= 0,13, ∆_3ф=-1.

Для определения величины, которую можно записать в свободную клетку, необходимо число отрицательных клеток (тех, у которых значения ∆_ij отрицательны) разделить на соответствующие дельты. Получаемый от деления результат обозначают буквой γ_ij. В нашем примере результаты будут такими (отрицательный знак не учитывается):

γ_3ф = 9,83/1 = 9,83; γ₁₃ = 14,17/0,13=109.

Из показателей γ_ij выбирается наименьший, его величина может быть записана в свободную клетку А₃В₃. Эта запись вызовет изменения во всех вершинах цепи. Величина изменений определяется умножением показателей ∆_ij на наименьшее значение γ_ij, т. е. на 9,83. В клетках таблицы изменения ∆_ij составят:

∆₃₃= 9,83*1,0= +9,83; ∆_3ф= 9,83*(-1,0)=-9,83; ∆₁₃ = 9,83*(-0,13)=-1,28; ∆_1ф = 9,83*0,13=1,28.

С учетом этих изменений производится новое распределение времени работы печей:

Виды оборудования и фонд времени его работы		Виды продукции и спрос на нее					Потенциал строки ui
		В1	В2	В3	В4	Вф
		110	350	220	410
А1	55	10 3 30 36,7	12 2 24 24	15 5 12,89 75	4 4 16 15,2	1 0 42,11	0
А2	72	10 8 80 36,7	12 2 29,17 24	10 5 50 50	20 10 200 76	1 0 42,83	0
А3	60	12 3 9,17 36	8 8 64 8	2 1 9,83 2	10 3 41 30	1 0	-8
А4	30	10 5 50 36,7	7 7 49 14	10 5 50 50	10 5 50 38	1 0 30	0
Потенциал столбца vj		3,67	2	5	3,8	0

В новом плане суммарные издержки производства:

F₂ = 9,17*36+29,17*24+12,89*75+9,83*2+41*30=3246,61р.

После перераспределения план проверяется на оптимальность в таком же порядке и по тем же правилам. Определяются потенциалы строк и столбцов, затем для свободных клеток рассчитываются суммы потенциалов и сравниваются с величиной элемента.

Единственная клетка имеет превышение – А₁В₁ (36,7-30=6,7), следовательно, ее нужно заполнять. Строим цепь перераспределения.

Обозначим изменение величин, связанное с заполнением свободной клетки, буквой (дельта) и используем ее для составления уравнений по строкам и столбцам.

Если условно принять, что , то с помощью подстановок можно вычислить все остальные ∆_ij: ∆₃₁=-0,83, ∆₃₃= 0,83, ∆₁₃=-0,11, ∆_1ф=-0,89.

Для определения величины, которую можно записать в свободную клетку, необходимо число отрицательных клеток (тех, у которых значения ∆_ij отрицательны) разделить на соответствующие дельты. Получаемый от деления результат обозначают буквой γ_ij. В нашем примере результаты будут такими (отрицательный знак не учитывается):

γ₃₁ = 9,17/0,83 = 11,05; γ₁₃ = 12,89/0,11=117,2, γ_1ф = 42,11/0,89=47,31.

Из показателей γ_ij выбирается наименьший, его величина может быть записана в свободную клетку А₁В₁. Эта запись вызовет изменения во всех вершинах цепи. Величина изменений определяется умножением показателей ∆_ij на наименьшее значение γ_ij, т. е. на 11,05. В клетках таблицы изменения ∆_ij составят:

∆₁₁= 11,05*1,0= +11,05; ∆₃₁= 11,05*(-0,83)=-9,17; ∆₃₃ = 11,05*0,83=9,17; ∆₁₃ = 11,05*(-0,11)=-1,22, . ∆_1ф= 11,05*(-0,89)=-9,83.

С учетом этих изменений производится новое распределение времени работы печей:

Виды оборудования и фонд времени его работы		Виды продукции и спрос на нее					Потенциал строки ui
		В1	В2	В3	В4	Вф
		110	350	220	410
А1	55	10 3 11,05 30	12 2 24 24	15 5 11,67 75	4 4 16 15,2	1 0 32,28	0
А2	72	10 8 80 30	12 2 29,17 24	10 5 50 50	20 10 200 76	1 0 42,83	0
А3	60	12 3 36 28	8 8 64 8	2 1 19 2	10 3 41 30	1 0	-8
А4	30	10 5 50 30	7 7 49 14	10 5 50 50	10 5 50 38	1 0 30	0
Потенциал столбца vj		3	2	5	3,8	0

F₃ = 11,05*30+29,17*24+11,67*75+19*2+41*30=3174,83 р.

Поскольку во всех клетках эти суммы ниже величин элементов, следовательно, получен оптимальный план загрузки оборудования, который обеспечивает минимальные суммарные издержки производства в размере 3174,83 р.