2 Практические занятия и примеры решения задач по дисциплине «Экономико-математические методы и модели»

2.1 Задача 1 – Многоэтапная транспортная задача

Сформулируем задачу следующим образом. Три хозяйства (А₁, А₂, А₃) поставляют продукцию на три завода (В₁, В₂, В₃,). Эти заводы имеют в трех местах склады (Д₁, Д₂, Д₃), которые расположены на некотором расстоянии от хозяйств и заводов и предназначены для приема продукции, непродолжительного хранения и последующей отгрузки ее на заводы. Объемы поставок продукции хозяйствами, возможности складов, мощности заводов и расстояния между хозяйствами, складами и заводами показаны в следующей таблице.

Наличие груза у поставщиков		Спрос потребителей		Емкость складов		Расстояние между пунктами
							Д1	Д2	Д3		В1	В2	В3
А1	230	В1	115	Д1	500	А1	2	6	8	Д1	5	8	2
А2	170	В2	460	Д2	300	А2	1	5	4	Д2	2	7	5
А3	250	В3	330	Д3	360	А3	6	7	5	Д3	6	4	6

Требуется составить план перевозок продукции из хозяйств на склады, затем с пунктов на заводы, который имел бы минимальную суммарную тонно-километровую работу.

Для решения задачи из элементов таблицы составляется матрица, в которой склады показаны как промежуточные. Определим наличие продукции у хозяйств и потребности заводов:

ΣА=650, ΣВ=905. В результате введем фиктивного поставщика с мощностью А_ф = 905 – 650 = 255 т.

Так как по условию задачи хозяйства не должны поставлять продукцию сразу на заводы, то клетки на пересечении хозяйств и этих заводов блокируются величиной М. Этой же величиной блокируются поставки от одного склада другому, поскольку условиями задачи такие перевозки не предусмотрены. Что касается клеток, в которых отражается поставка склада самому себе, то в них элементы принимаются нулевыми и записанные в них поставки будут означать неиспользованные возможности приемных пунктов

Решение задачи выполняется обычным методом. Первона­чальное распределение производится с учетом величины эле­ментов матрицы, но клетки с нулевыми элементами, как в за­дачах открытой модели, заполняются в последнюю очередь.

Наличие груза у поставщиков		Д1	Д2	Д3	В1	В2	В3	Потенциал строки, ui
		500	300	360	115	460	330
А1	230	230 2	3 6	2 8	М	М	М	0
А2	170	170 1	3 5	-1 4	М	М	М	-1
А3	250	5 6	5 7	250 5	М	М	М	-1
Аф	255	1 0	255 0	-3 0	М	М	М	-3
Д1	500	100 0	М	М	2 5	70 8	330 2	-2
Д2	300	М	45 0	М	115 2	140 7	4 5	-3
Д3	360	М	М	110 0	7 6	250 4	8 6	-6
Потенциал столбца, vi		2	3	6	5	10	4

Рассчитаем значение целевой функции:

F₁=Σх*с = 230*2+170*1+250*5+70*8+330*2+115*2+140*7+250*4 = 5310 т-км

Проверим исходный план на оптимальность путем расчета характеристик (они равны: расстояние минус сумм потенциалов) для тех клеток, по которым нет поставок, и запишем их в клетку.

Наличие отрицательных характеристик в двух клетках свидетельствует о не оптимальности исходного плана.

Определим цикл пересчета и сделаем перераспределение поставок. Получим следующий план поставки продукции.

Наличие груза у поставщиков		Д1	Д2	Д3	В1	В2	В3	Потенциал строки, ui
		500	300	360	115	460	330
А1	230	230 2	3 6	5 8	М	М	М	0
А2	170	170 1	3 5	2 4	М	М	М	-1
А3	250	6 6	6 7	250 5	М	М	М	-2
Аф	255	1 0	145 0	110 0	М	М	М	-3
Д1	500	100 0	М	М	2 5	70 8	330 2	-2
Д2	300	М	155 0	М	115 2	30 7	4 5	-3
Д3	360	М	М	3 0	7 6	360 4	8 6	-6
Потенциал столбца, vi		2	3	3	5	10	4

F₂=Σх*с = 230*2+170*1+250*5+70*8+330*2+115*2+30*7+360*4 = 4980 т-км

Поскольку все характеристики положительны, то получен оптимальный план поставки продукции, при этом затраты на перевозку равны 4980 р. и они минимальны.