Контрольные вопросы

1. Сумма нескольких событий. 2. Теорема сложения двух совместных событий. 3. Теорема сложения двух несовместных событий. 4. Произведение двух событий. 5. Какие события называются независимыми в совокупности? 6. Вероятность совместного появления двух зависимых событий. Условная вероятность. 7. Вероятность совместного появления двух независимых событий. 8. Формула полной вероятности. Гипотезы. 9. Формула Бейеса. 10. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число. 11. Локальная теорема Лапласа. 12. Формула Пуассона.

Лекция №8 случайные величины

План

1. Определение случайной величины

2. Функция распределения дискретной случайной величины

3. Плотность распределения вероятностей

1. Определение случайной величины.

Определение 8.1. Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно, заранее неизвестно).

Представим себе, что производится испытание, в результате которого происходит одно из несовместных событий . Пусть каждому исходу испытания поставлено в соответствие некоторое действительное число . В этом случае говорят, что задана случайная величина .

Пример 8.1. Бросается игральный кубик. Случайная величина – выпавшее число очков: .

Определение 8.2. Дискретная случайная величина – величина, все значения которой могут быть пронумерованы.

Определение 8.3. Непрерывная случайная величина – величина, все значений которой сплошь заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Пример 8.2. – число преступлений в течение суток в Волгограде – дискретная случайная величина. – время, в течение которого спортсмен пробежал дистанцию 100 м – непрерывная случайная величина.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение 8.4. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблице, аналитически (в виде формул) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица:

			…
			…

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. Для любой случайной величины:

(8.1)

Если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, по оси ординат – соответствующие их вероятности, то получаемая ломанная, которая называется многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рис.8.1).

Пример 8.3. В партии из восьми деталей пять стандартных. Наудачу взяты четыре детали. Построить ряд и многоугольник распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение: Пусть X – число стандартных деталей среди четырех отобранных. Оно может принять следующие четыре значения: , , , . Вероятности этих значений равны:

, , , .

Складывая полученные вероятности, имеем:

.

	1	2	3	4

Закон распределения непрерывной случайной величины можно задать в виде некоторой формулы .

Пример 8.4. Нормальный закон распределения:

, (8.2)