§5 Скалярное произведение и его свойства.
1 Определение скалярного произведения
Определение.
Скалярным произведением
двух ненулевых векторов
и
называется
число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними,
т.е.
.
Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение этих векторов равно нулю (по определению).
Если
,
то
,
так как
.
Отсюда следует, что
.
Заметим,
что скалярное произведение
называется скалярным квадратом и
обозначается
.
Cкалярное произведение можно определить через проекцию
.
|
Доказательство.
|
Свойства скалярного произведения
2)
коммутативность:
.
Это
свойство очевидно, так как
.
3)
ассоциативность относительно числового
множителя
:
4)
дистрибутивность относительного
сложения векторов:
.
|
Доказательство.
|
Следствие.
.
2 Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов
Напомним,
что два ненулевых вектора
и
называются ортогональными, если они
образуют прямой угол, т.е.
.
Теорема. Для того чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение обращалось в нуль.
|
Доказательство.
|
3 Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами
Пусть
,
.
Докажем, что скалярное произведение
этих векторов равно
|
Доказательство.
|
4 Угол между двумя векторами
Если
и
– ненулевые векторы, то, принимая во
внимание определение вектора и п.4,
получим такое выражение для угла
между векторами a
и b:
.
Отсюда
нетрудно получить условие ортогональности
(перпендикулярности) двух векторов в
координатной форме:
.
5 Механический смысл скалярного произведения
Если
– сила, действующая на перемещении S,
то работа
этой силы на указанном перемещении, как
известно, равна
,
т.е.
(рис. 3.5.1).
Рис.
5.1