§3.Проекция вектора на ось. Координаты вектора.
Компоненты вектора.
1. Проекция вектора на ось.
Пусть
вектор
лежит на некоторой оси
.
Направление орта
соответствует направлению оси (рис.
3.1).
Определение
3.1.
Рис. 3
Проекцией вектора,
лежащего на оси, на эту ось называется
действительное число, по абсолютной величине равное длине
вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора
совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если они
противоположны.
Пусть
вектор
не лежит на оси
.
Из точек
и
опустим перпендикуляры на ось
.
Получим соответственно две точки
и
(рис. 3.2). Вектор
называется
компонентой вектора
по оси
.
Определение
3.2.
Рис. 3
Проекцией
вектора, не лежащего на оси
,
на эту ось
называется
проекция его компоненты по оси
на эту же ось. Проекция вектора на ось
обычно обозначается так:
.
Очевидно, если вектор
лежит на оси
,
то можно написать:
Замечание.
Отметим, что проекцию
вектора
на ось
называют также координатой
вектора
по этой оси
.
2 Компоненты вектора по координатным осям и координаты точки.
Поместим
начало вектора a
в начало декартовой системы координат
Oxyz
(его конец – точка
).
Спроектируем точку
на координатные оси. Получим соответственно
три точки
,
,
(рис. 3.3).
Векторы
,
,
,
лежащие на координатных осях Ox.
Oy
и Oz,
являются компонентами вектора
по координатным осям. Обознчим через
,
и
- проекции вектора a
на координатные оси.
Покажем, что
|
|
.
Такое
представление вектора
называется разложением его на компоненты,
или составляющие
по координатным осям. Нетрудно
заметить, что вектор
лежит на диагонали параллелепипеда,
следовательно, можно найти его длину,
т.е.
.
Проекции
вектора
на координатные оси, т.е. числа
,
и
,
являются координатами вектора
и записываются так:
или
.
Рассмотрим
теперь некоторую точку
в пространстве. Вектор
называется радиус-вектором
точки
(рис
3.4). Проекции
,
,
радиус-вектора точки
на
координатные оси называются координатами
точки
в
данной системе координат,
и при этом их обозначают просто
,
и
,
т.е. точка
имеет координаты
,
и
,
записывают так:
.