![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дисциплина «Физика» список литературы
- •Дополнительная
- •2. Учебные пособия
- •2 Семестр
- •I. Учебная программа
- •2 Семестр
- •Лекция №1
- •1. Современная картина строения физического мира.
- •1.1. Фермионы
- •1.2. Векторные бозоны
- •11.Элементарные частицы
- •11.1. Основные понятия и законы
- •11.1.1.Виды взаимодействий
- •11.1.2.Законы сохранения
- •11.2.Примеры решения задач
- •12.1. Основные свойства элементарных частиц.
- •12.2. Законы сохранения в микромире
- •12.3. Кварковая структура адронов
- •12.4. Электрослабое взаимодействие
- •1.5.Практическое использование элементарных частиц
- •3.Метод размерных оценок в задачах физики
- •3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования
- •3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок
- •1.Размерность произвольной физической величины может быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.
- •2.Размерности обеих частей равенства, отражающего некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.
- •3.3. Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.
- •5. Работа и энергия. Закон сохранения энергии
- •5.1. Работа и кинетическая энергия
- •5.2. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем
- •5.3. О законе сохранения энергии и непотенциальных силах
- •5.4. Простые примеры
- •5.5. Равновесие и устойчивость
- •6.1. Особенности движения замкнутой системы из двух взаимодействующих материальных точек. Приведенная масса
- •6.2. Центр масс системы материальных точек
- •6.3. Потенциальная энергия взаимодействия. Закон сохранения
- •20.2. Движение частицы в поле консервативной силы
- •6.5. Упругие и неупругие соударения
- •Лекция 4
- •2. Избранные вопросы классической механики
- •2.1. Некоторые положения механики Ньютона.
- •2.2. Принципы механики Лагранжа.
- •2.3. Принцип Гамильтона.
- •7.1. Момент импульса и момент силы
- •7.3. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Динамика твердого тела.
- •Свойства симметрии и законы сохранения. Сохранение энергии.
- •Сохранение импульса.
- •Сохранение момента импульса.
- •9.1. Принцип относительности Галилея
- •9.2. Законы механики в неинерциальных системах отсчета.
- •Некоторые задачи механики. Движение частицы в центральном поле сил.
- •2. Основные физические свойства и параметры жидкости. Силы и напряжения.
- •2.1. Плотность.
- •2.2. Вязкость.
- •2.3. Классификация сил.
- •2.3.1. Массовые силы.
- •2.3.2. Поверхностные силы.
- •2.3.3. Тензор напряжения.
- •8.3. Течение идеальной жидкости. Уравнение непрерывности
- •8.4. Архимедова сила. Уравнение Бернулли
- •8.5. Вязкость. Течение Пуазейля
- •1.4.1. Поток векторного поля.
- •2.3.4. Уравнение движения в напряжениях.
- •Уравнение Эйлера и Навье-Стока.
- •Специальная теория относительности.
- •10.1. Постоянство скорости света для всех систем отсчета.
- •10.2. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени
- •10.3. Импульс и энергия в релятивистской механике
- •Относительность одновременности событий
- •Зависимость массы тела от скорости
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
- •1.3. Фундаментальные взаимодействия
- •1.4. Стандартная модель и перспективы
2.3.4. Уравнение движения в напряжениях.
Получим
наиболее общее уравнение, связывающее
поверхностные и массовые силы так
называемое уравнение движения в
напряжениях. Для вывода уравнения
проанализируем движение жидкой частицы,
масса которой
и поверхность dS.
Аналогично тому, как это было сделано
для тетраэдра, можем записать уравнение
движения в виде
(2.11)
Для всего движущегося объема (V), поверхность которого S, имеем
(2.12)
Преобразуем поверхностный интеграл в правой части в объемный с учетом того, что, как было показано, тензор напряжений имеет вид
где
,
,
- направляющие косинусы.
Воспользуемся известными из векторного анализа и справедливыми для любых векторов формулами:
; (2.13)
Применяя
эти формулы к тензору
,
получаем:
(2.14)
Подставляя это выражение в исходное уравнение, получаем:
Но
так как
,
а объем V выбран произвольно, то
(2.15)
Это и есть уравнение движения в напряжениях.
В проекциях на декартовы оси координат можем записать:
(2.16)
Эта система включает в качестве неизвестных девять величин: три проекции скорости и шесть проекций напряжений. Проекции единичных массовых сил, как правило, известны из постановки задачи.
Лекция №7
Уравнение Эйлера и Навье-Стока.
Вязкая жидкость – жидкость, у которой есть силы трения между трубками тока.
Рассмотрим вязкую жидкость. Выделим элемент жидкости и рассмотрим силы действующие на этот элемент извне. Это сила тяжести, сила трения со с тороны соседних элементов жидкости за счет вязкостных эффектов и давления.
Закон Ньютона для вязкостного трения
По Ньютону-сила, действующая на стенку, обтекаемую жидкостью, пропорциональна градиенту скорости и площади поперечного сечения:
коэффициент вязкости.
Трение жидкости о стенку вызывает эффект прилипания, когда скорость жидкости на поверхности обтекаемого тела равна нулю. взамодействие между слоями жидкости обусловливает формирование пограничного слоя, где скорость меняется от расстояния от стенки, формируя профиль скорости
пограничный
слой – градиент скорости-скорость
изменения скорости с расстоянием от
стенки
Касательное
напряжение на стенке, создаваемое за
счет обтекания ее жидкостью
- касательное напряжение
Аналогия для других законов
-
Фик (для массового потока)
- Фурье
для теплопроводности
- коэффициент теплопроводности
D – коэффициент диффузии
C –концентрация
мы рассматриваем молекулярный обмен.
-
-коэффициент динамической вязкости
Рассмотрим эффекты вязкого трения при взаимодействии жидкости со стенкой и между слоями жидкости
x+dx ydy y+dy x px
Закон Ньютона -2 для элемента жидкости
;
Масса жидкости выражается через плотность
dm =dV;
сила тяжести, действующая на элемент жидкости
Fgx=mgx;
Сила давления, действующая в направлении оси абсцисс
Fp = (px-px+dx)dydz;
Сила трения, выраженная через касательные напряжения, действующая в направлении оси абсцисс
Fтр=(-yy+dy)dxdz
разложение в ряд Тейлора для давления
px+dx=
px+;
Для касательного напряжения
y+dy
= y+
после подстановки
Fp=
-dydz
;
Аналогично
Fтр
=
dxdz
Силу тяжести выражаем через плотность
Fgx = mdVgx ;
Подставляя полученные величины в уравнение движения, имеем
Преобразуя к единице объема
Заменяем по его определению(формуле Ньтона)
Расписывая полную производную скорости
Перепишем уравнение движения для проекции на ось абсцисс в форме
=
- для
координаты x;
Аналогично для координаты z и y
1й член уравнения –характеризует нестационарность;
2й – инерциальная составляющая;
3й – силы внешнего давления;
4й – вязкостные силы
5й – силы тяжести.
Тензорная форма записи этого уравнения:
здесь i
=1;
j = 1,2,3
По повторяющимся индексам проводится суммирование и этовыражение раскладывается как сумма:
- стационарное
течение
Для стационарного случая уравнение движения жидкости принимает вид
после деления на плотность
Введем
vo –
средняя скорость;
- безразмерная величина; l
– характерный размер.
Приведем
выражение
к безразмерному виду:
Прием, который используется при этом – деление и умножение каждой величины, входящей в уравнение на выбранную характерную
Введем
Безразмерный вид уравнения справедлив для любых величин
где
-кинематическая
вязкость
Обезразмеривание позволяет выделить безразмерные комплексы, как, например
- критерий Рэйнольда.
При увеличении критерия Рэйнольда вязкостная составляющая уменьшается(может исчезнуть. Критерий Рейнольда определяет силы вязкости(определяет при некоторых значениях турбулентное или моментальное движение жидкости).
Х.Тензоры.
1.Определение тензора. Чтобы прийти к определению рассмотрим поляризацию анизотропного диэлектрика.
В изотропном диэлектрике Р пропорциональна напряжённости электрического поля Е
Р=хЕ (Х.1)
Где х – диэлектрическая восприимчивость. Согласно (Х.1) векторы Р и Е коллинеарны.
В
анизотропном диэлектрике поляризуемость
по направлениям различна. Как показывает
опыт, в любом анизотропном диэлектрике
имеются 3 взаимно перпендикулярных
направления таких, что при совпадении
направления Е с одним из них вектор Р
оказывается коллинеарным с Е. Эти
направления называются главными.
Направим оси координат вдоль главных
направлений. Произвольно направленный
вектор Е можно разложить на составляющие
. Составляющая
создаёт коллинеарную с ней поляризованность
,
где
- восприимчивость в направлении оси ох.
Аналогично другие составляющие создадут
,
нетрудно заметить, что при различных
по величине
результирующий вектор Р=
будет не коллинеарен с Е.
Рассмотрим
анизотропный диэлектрик, который мы
будем считать однородной неограниченной
средой. Свяжем с ним систему координат,
тогда поле
направленном по оси х, отличными от нуля
будут не только
но и
,
причём
(Х.2)
Где
– коэффициенты пропорциональности
между
компонентами Р.
Аналогично
поля
вызовут поляризованности
(Х.3)
В
случае поля Е, не совпадающей не с одной
из координатных осей, одновременно
будут существовать
так что возникнут все
,
определяемые формулами (Х.2) и (Х.3).
Объединив соответствующие составляющие
вектора Р, получим
(Х.4)
Перейдя от буквенных индексов к цифровым, запишем уравнения (Х.4) в компактном виде
(Х.5)
Из
сказанного выше вытекает, что для
анизотропного диэлектрика необходимо
задать девять величин
(в случае изотропного диэлектрика
достаточно было одной величины х).
Перейдём
от прежней системы координат
(системы К) к новой системе
(системе К’), оси которой так же не
совпадают с главными направлениями
диэлектрика. Выясним, как преобразуются
величины
при таком переходе.
(Х.6)
Здесь
– девять величин, характеризующих
диэлектрик в новой системе координат.
Согласно формулам VI.37 и VI.38, компоненты вектора Р при переходе от системы К к системе К’ преобразуются по формуле
(Х.7)
А компоненты вектора Е при переходе от системы К’ к системе К преобразуются по формуле
(Х.8)
Заменим
в (Х.7)
через
согласно отношению (Х.5). В результате
получим
Сопоставив полученное выражение с выражением (Х.6), получим
(Х.9)
Совокупность
величин
преобразующихся при переходе от системы
координат К по формуле
(Х.10)
Называется тензором второго ранга (или тензором второго порядка, или тензором второй валентности).
Обратное преобразование (от системы К’ к системе К) осуществляется по формуле
(Х.11)
Т=
(Х.12)
Величины
называются компонентами тензора.
Компоненты
называются диагональными.
Таким образом, свойства анизотропного диэлектрика описываются тензором диэлектрической восприимчивости
(Х.13)
Особый интерес представляет случай, когда оси координат совпадают с главными направлениями диэлектрика. Сопоставление с (Х.5) приводит к выводу, что в рассматриваемом случае отличны от нуля только диагональные компоненты тензора, так, что тензор диэлектрической восприимчивости имеет вид
(Х.14)
Тензор, у которого отличны от нуля только диагональные элементы, называется приведённым к главным осям. Значения главных компонент, которые получаются в этом случае, называются главными значениями тензора.
Отметим, сто у изотропного диэлектрика все 3 главные значения диэлектрической восприимчивости одинаковы. Это значение диагональных составляющих тензора и представляет собой диэлектрическую восприимчивость, рассматриваемую в курсе общей физики. В качестве главных направлений изотропного диэлектрика могут быть взяты любые три взаимно перпендикулярные направления.
Рассматриваются
тензоры не только второго, но и других
рангов. Так например тензором третьего
ранга называется совокупность 27 величин
,
преобразующихся при переходе от одной
системы координат к другой по формуле
=
(Х.15)
Понятие
тензора легко распространить на понятие
n
измерений. Тензором r-го
ранга в таком пространстве называется
совокупность n’
величин
(всего r
индексов), преобразующихся по формуле,
отличающейся от формулы (Х.15) лишь тем,
что немые индексы пробегают не 3 а n
значений.
Приведём ещё несколько примеров тензоров 2го ранга. Возьмём 2 вектора a и b и образуем из их компонент произведения вида
=
(Х.16)
Тензор
()=
(Х.18)
Называется единичным тензором. Согласно формуле преобразования VI.39. Таким образом компоненты единичного вектора одинаковы во всех системах координат. Тензоры, обладающие такими свойствами называются инвариантными.
Лекция 7