Сохранение момента импульса.

Вследствие изотропии пространства механические свойства замкнутой системы частиц не должны изменяться при произвольном повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим не должна изменяться и функция Лагранжа(δL=0). Найдём приращение функции δL при произвольном очень малом повороте системы на угол δφ. Вместе с системой повернутся все векторы, характеризующие систему, вследствие чего эти векторы получат некоторые приращения, которые будут того же порядка, что и δφ.

δr_α=[ r_α ,δφ ], δv_α=[ v_α ,δφ ] (10.1)

Ввиду малости величин δr_α и δv_α

δL= δ δ (напомним, что L = L(, ), время t в L явно не входит.) С учётом 10.1

δL=[v_α ,δφ] (10.2)

Из векторной алгебры известно, что в смешанном произведении 3 векторов допустима циклическая перестановка сомножителей. Произведя такую перестановку, получим

δL=

Вынесем за знак суммы, одновременно заменив в соответствии с уравнениями Лагранжа 9.3 через :

v=dr/dt

δL = = ].

По предположению , поэтому условие δL=0 эквивалентно условию ]=0

или ]=const.

Согласно 9.5 Величина М=[rp] есть момент импульса частицы относительно начала координат. Следовательно, мы пришли к утверждению, что

М= = const.

В этом соотношении - момент импульса частицы с номером α, М – результирующий момент импульса системы.

Итак, исходя из изотропии пространства, мы пришли к закону: результирующий момент импульса замкнутой системы частиц остаётся постоянным. Значит, момент импульса замкнутой системы, так же как её энергия и импульс, является интегралом движения.

Пусть система частиц находится во внешнем центральном поле сил, т. е. в таком поле, в котором сила, действующая на любую из частиц имеет направление, проходящее через одну и ту же неподвижную точку О(центр поля), а модуль силы зависит только от расстояния r до этой точки. Потенциальная энергия частицы в таком поле имеет вид

U = U(r). (10.4)

Произвольный поворот системы в пространстве вокруг точки О не изменяет механических свойств системы.(расположение частиц по отношению к силовому центру О при таком повороте остаётся неизменным). Следовательно, хотя в данном случае система не является замкнутой, её момент импульса будет постоянным. Правда, это справедливо лишь для момента, взятого относительно точки О. В случае же замкнутой системы сохраняется момент импульса, взятый относительно любой точки.

Если внешнее поле обладает осевой симметрией(это значит, что потенциальная энергия частицы зависит лишь от расстояния от частицы до этой оси), то механические свойства системы не будут изменяться при повороте вокруг оси поля. Следовательно будет постоянным момент импульса системы относительно этой оси(Напомним, что моментом относительно оси называется проекция на эту ось момента взятого относительно любой из точек оси).

ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ

СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА

9.1. Принцип относительности Галилея

Как меняются законы движения при переходе из одной системы отсчета

в другую? Другими словами, меняется ли при этом (и как) основной закон

механики — второй закон Ньютона —

ma = F.

Этот вопрос имеет очень важное значение, так как наблюдать за движением тел и использовать законы механики на практике приходится не в одной какой-то, раз и навсегда выбранной системе отсчета, а в различных системах, по-разному движущихся друг относительно друга. Особое значение придает данной проблеме то обстоятельство, что инерциальная система отсчета, в которой мы до настоящего времени формулировали законы механики, есть физическая идеализация, тогда как в природе мы всегда имеем-

дело с неинерциальными системами.

Рассмотрим случай, когда обе системы отсчета — исходная и движущаяся относительно нее — являются инерциальными системами. Допустим, что система отсчета К инерциальна, а система К' движется относительно первой поступательно с постоянной скоростью V (рис. 9.1).

рис. 9.1. инерциальные системы

Для простоты можно принять, что координатные оси x',y',z' соответственно параллельны осям х, у, z и что в начальный момент времени t = 0 начало О' совмещается с началом 0. Будем также считать, что скорость V параллельна оси х. При этих условиях ось х' все время будет совпадать с осью х. Такие упрощения в постановке задачи не лишают ее общности, так как переход к общим формулам может быть совершен дополнительным поворотом координатных осей и переносом начала координат. Радиус-вектор некоторой материальной точки m в исходной системе отсчета в момент времени t обозначим r, а радиус-вектор той же материальной точки в тот же момент времени в движущейся системе обозначим r'.

Тогда координаты и время в системах К и К' будут связаны друг с другом соотношениями

r = r' + Vt', t = t', (9.1)

или в проекциях на оси

х = х + Vt', y = у', z = z, t = t'.

Мы уже обсуждали эти соотношения в гл. 2. Напомним, что они называются преобразованиями Галилея. Мы добавили к формулам преобразования

координат дополнительную формулу t = t', выражающую предположение

Ньютона о том, что время является абсолютным, то есть текущим одинаково в любых системах отсчета.

С точки зрения нашего повседневного житейского опыта, преобразования

Галилея кажутся очевидными. В самом деле, они фактически основаны на

двух предположениях. Во-первых, предполагается, что в разных системах

отсчета остаются неизменными длины одних и тех же твердых стержней,

которые используются для измерения пространственных размеров и координат различных тел. Кроме того, преобразования Галилея предполагают также, что, например, показания часов у двух человек не станут различаться только из-за того, что один из них начнет идти быстрее другого, и это тоже, казалось бы, не вызывает сомнения. Но всегда ли здравый смысл достаточен для доказательства истины? Об этом пойдет речь в следующей главе, а сейчас поговорим о том, что означают преобразования Галилея с точки

зрения формулировки законов механики в разных инерциальных системах.

Различаются ли законы движения для наблюдателей в разных системах?

Дифференцируя соотношение (9.1) по времени t, получим

dr/dt = (dr'/dt') + V,

или

v = v' + V, (9.2)

где v — скорость материальной точки в системе К, a v' — в системе К'.

Эта формула выражает известное уже нам правило сложения скоростей в

механике Ньютона.

Дифференцируя второй раз , получим (с учетом постоянства V)

dv/dt = dv'/dt = dv'/dt',

или

а = а'. (9.3)

Таким образом, ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

С правилом сложения скоростей и с равенством (9.3) мы познакомились впервые в гл. 2. Поставим теперь вопрос: а как меняется сила при переходе из одной инерциальной системы в другую? Сила зависит от разности координат взаимодействующих материальных точек (для электромагнитных сил — еще и от разности их скоростей). Поэтому, в соответствии с (9.1) и (9.2), сила не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой: F = F'. Такие соображения, сколь бы они не казались естественными, ни в коей мере не являются доказательством — они, например, должны быть пересмотрены

в рамках релятивистской механики. Иначе говоря, сила инвариантна лишь относительно преобразований Галилея. Это утверждение должно рассматриваться как опытный факт. Так как и ускорение инвариантно, а масса материальной точки предполагается величиной постоянной, не зависящей от ее положения и скорости, то второй закон Ньютона в «штрихованной» системе принимает вид

ma' = F'.

Это уравнение в «штрихованной» системе отсчета К' имеет точно такой же

вид, что и в «нештрихованной» системе К. Таким образом, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Это утверждение составляет содержание принципа относительности Галилея.

Принцип относительности Галилея провозглашает полное равноправие

всех инерциальных систем отсчета и его можно сформулировать также в

виде следующего утверждения: никакими механическими опытами, проведенными в пределах только данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или в состоянии равномерного прямолинейного движения. Находясь, например, в вагоне поезда, движущегося без толчков прямолинейно и равномерно, мы, не выглянув в окно, не сможем определить, движется вагон или покоится. Свободное падение тел, движение брошенных нами предметов и все другие механические процессы будут в этом случае происходить так же, как и в случае, если бы вагон был неподвижен.