1.5.2. Столкновение и разлет двух масс газа

Рис. 1.18.

Рис. 1.19.

Второй и третий случаи распада неустойчивого разрыва мы рассмотрим только качественно. Количественный анализ можно провести подобно случаю, рассмотренному выше.

Рис. 1.20.

Столкновение двух масс газа. Пусть две массы газа с произвольными параметрами сталкиваются в момент (см. рис. 1.18). Очевидно, что возникнут две ударные волны, между которыми будет расположен контактный разрыв (место соприкосновения масс газа). Описанный процесс изображен на диаграмме (см. рис. 1.19) Скорости и давления за волнами должны совпадать, так как контактный разрыв устойчив, а температуры и плотности в общем случае различны. Возможная картина распределения скоростей и давлений приведена на рис. 1.20.

Рис. 1.22.

Рис. 1.21

Разлет двух масс газа. В этом случае (см. рис. 1.21) возникнут две волны разрежения. Причем возможны ситуации с образованием контактного разрыва между газами и с образованием вакуума между ними. Процесс изображен на диаграмме (см. рис. 1.22). Графики скорости и давления в случае образования контактного разрыва и вакуума приведены на рис. 1.23, 1.24 соответственно.

Рис. 1.23. Рис. 1.24.

1.5.3. Распад произвольного разрыва в жидкости и пузырьковой жидкости

Распад произвольного разрыва в жидкости. Рассмотрим распад произвольного разрыва (, рис. 1.17) в жидкости с акустическим уравнением состояния

. (5.3.1)

Из соотношений на скачке следует

. (5.3.2)

Ранее мы получили выражение для скорости за волной разрежения (4.3.3)

. (5.3.3)

Применим уравнение состояния к газу за волной разрежения:

. (5.3.4)

Учитывая, что скорости, давления за волной разрежения и за ударной волной равны, сведем (5.3.2) – (5.3.4) к одному нелинейному алгебраическому уравнению для давления :

. (5.3.5)

Решая (5.3.5), найдем давление. Тогда из уравнения состояния можно найти плотность жидкости, а из (5.3.2) – скорость.

Распад произвольного разрыва в пузырьковой жидкости. Рассмотрим задачу п. 1.5.1. для пузырьковой жидкости. Запишем соотношение на ударной волне

. (5.3.6)

Скорость ударной волны

. (5.3.7)

Для волны разрежения

. (5.3.8)

Так как , , то из (5.3.6) – (5.3.8) получим нелинейное алгебраическое уравнение относительно :

. (5.3.9)

Решая его численно, найдем , затем и по формулам (5.3.7), (5.3.8).

Плотности за волнами можно найти, используя уравнение состояния пузырьковой жидкости:

, . (5.3.10)

Таким образом, поставленная задача решена.

1.5.4. Прохождение ударной волны через границу раздела двух сред

При прохождении ударной волны через границу раздела двух сред происходит ее частичное отражение. Основным параметром, определяющим характер отражения волны от границы раздела, является волновое сопротивление (акустический импеданс) сред.

Пусть ударная волна распространяется по газу 1 с волновым сопротивлением и проходит через границу с газом 2, волновое сопротивление которого (см. рис. 1.25).

Если то отраженная волна является ударной. Если же , то ударная волна отразится как волна разрежения (см. рис. 1.26). Рассмотрим последнюю задачу подробно.

Будем считать, что начальные параметры двух совершенных газов и набегающей ударной волны известны.

Рис. 1.25.

Рис. 1.26.

Требуется найти параметры газов (давление и скорость) за отраженной и прошедшей волнами.

Рис. 1.27.

Эта задача решается методом построения ()-диаграммы (см. рис. 1.27). На ней изображена линия УВ 1, представляющая собой геометрическое место точек всевозможных падающих ударных волн. Аналогично линия УВ 2 представляет собой геометрическое место точек всевозможных прошедших ударных волн. Линия ВР однозначно определяется заданием падающей ударной волны и характеризует зависимость давления от скорости в волне разрежения. За прошедшей в газ 2 ударной волной и за отраженной волной разрежения давления и скорости совпадают:

(5.4.1)

Равенствам (5.4.1.) соответствует точка пересечения линий УВ 2 и ВР.

Связь между скоростью и давлением за падающей ударной волной (уравнение кривой УВ 1) ранее была найдена (5.1.10):

. (5.4.2)

Аналогично для прошедшей ударной волны (уравнение кривой УВ 2)

. (5.4.3)

Здесь , и , – начальные параметры газов 1 и 2. Рассмотрим случай, когда .

Так как за падающей ударной волной среда движется со скоростью , то волна разрежения распространяется по среде, движущейся с этой скоростью. Поэтому выражения (4.1.21) необходимо обобщить на этот случай. Исходя из (4.1.6) в нашем случае имеем:

.

Здесь – скорость звука за падающей ударной волной. Тогда

. (5.4.4)

Из соотношений (4.1.21) с учетом (5.4.4) найдем выражение для давления (уравнение кривой ВР)

. (5.4.5)

Заметим, что выражение (5.4.4) следует из (4.1.21), если рассмотреть систему координат, движущуюся со скоростью , записать в ней (4.1.21), а потом вернуться к неподвижной системе координат. В этом случае при должно быть . Подставляя в (5.4.5) из (5.4.3), получим трансцендентное уравнение для давления за волной разрежения . Искомые значения , можно найти графически, строя кривую УВ 2 из начала координат и кривую ВР из точки (, ) до их пересечения. Координаты точки пересечения являются искомыми значениями (, ).