![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Равновесная газожидкостная система
- •1.1. Уравнение состояния и скорость звука
- •1.1.1. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении
- •1.1.2. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом сжимаемости несущей фазы
- •1.1.3. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом поверхностного натяжения
- •1.1.4. Скорость звука в жидкости, газе и пузырьковой жидкости
- •1.2. Соотношения на разрыве
- •1.2.1. Соотношения на разрыве в подвижной и неподвижной системе координат
- •1.2.2. Адиабата. Ударная адиабата
- •1.2.3. Скорость ударной волны
- •1.3. Задачи об ударных волнах
- •1.3.1. Задача о поршне в совершенном газе
- •1.3.2. Задача о поршне в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.3.3. Отражение ударной волны от жесткой стенки в совершенном газе
- •1.3.4. Отражение ударной волны от жесткой стенки в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.4. Волна разрежения
- •1.4.1. Волна разрежения в совершенном газе
- •1.4.2. Задача о выдвигающемся поршне в газе
- •1.4.3. Волна разрежения в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5. Распад произвольного разрыва
- •1.5.1. Распад произвольного разрыва в покоящемся газе
- •1.5.2. Столкновение и разлет двух масс газа
- •1.5.3. Распад произвольного разрыва в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5.4. Прохождение ударной волны через границу раздела двух сред
- •1.5.5. Прохождение ударной волны через границу раздела между жидкостью и пузырьковой жидкостью
- •1.6. Затухание упругого предвестника.
- •1.7. Волновое истечение в окружающее пространство
- •1.7.1. Истечение совершенного газа из трубы в окружающее пространство
- •1.7.2. Истечение холодной жидкости
- •1.7.3. Истечение равновесной пузырьковой жидкости
- •1.7.4. Качественный анализ процесса истечения вскипающей жидкости
- •1.7.5. Замкнутая система уравнений для истечения вскипающей жидкости
- •1.7.6. Численное решение задачи об истечении вскипающей жидкости
1.2.3. Скорость ударной волны
Скорость
ударной волны в совершенном газе.
Определим скорость распространения
ударной волны в совершенном газе.
Предположим, что изначально газ покоится
.
Тогда согласно (2.1.2)
. (2.3.1)
Используя
уравнение (2.2.7), в котором исключим
с помощью (2.2.12), найдем, что
.
Заметим,
при
,
.
Итак,
. (2.3.2)
Рассмотрим асимптотическое поведение скорости сильных и слабых ударных волн. Для сильных волн
. (2.3.3)
Для слабых –
. (2.3.4)
Квадрат скорости ударной волны пропорционален тангенсу угла наклона между отрезком, соединяющим начальное и конечное состояния на ударной адиабате, и осью абсцисс (см. рис. 1.7). Действительно, тангенс этого угла есть
,
. (2.3.5)
1 1
Рис.
1.7.
.
Следовательно,
.
Таким
образом, квадрат скорости ударной волны
пропорционален
,
а квадрат скорости звука –
.
Часто для описания скорости ударной волны вводят число Маха (Mach)
. (2.3.6)
Для
ударных волн всегда выполняется
неравенство
.
Используя (2.3.2) и (1.4.5), получим
. (2.3.7)
Для волн большой интенсивности найдем
. (2.3.8)
Для волн малой интенсивности получим
. (2.3.9)
Рассмотрим
в подвижной системе координат отношение
скоростей среды до и после скачка к
местной скорости звука
.
Очевидно, до скачка
.
Покажем, что после скачка
.
Разделим почленно (2.2.6) на квадрат
скорости звука
,
получим
.
Из уравнения ударной адиабаты найдем
.
Тогда
. (2.3.10)
Таким образом, в системе координат, связанной со скачком, скорость газа перед ударной волной сверхзвуковая, за волной – дозвуковая.
Выясним ответ на вопрос: догонит ли звуковая волна ударную? В подвижной системе координат, связанной со скачком, газ за ударной волной имеет скорость u.Звук бежит по газу со скоростью c. Далее
u<0, |u|<c.
Следовательно, u+c>0. Таким образом, звуковое и любое другое возмущение за конечное время догонит ударную волну.
Скорость ударной волны в жидкости. Соотношения на скачке имеют вид:
,
.
Уравнение состояния жидкости
,
или
. (2.3.11)
Здесь
учтено, что объем жидкости при сжатии
меняется незначительно, так что
.
При больших перепадах давления (
)
диаграмма сжатия становится нелинейной.
В этом случае используют уравнение Тэта
(Tait):
или
. (2.3.12)
Константы,
входящие в уравнение, определяются
экспериментально. При
уравнение Тэта переходит в акустическое
уравнение состояния. Вследствие большой
теплоемкости жидкости температуры до
и после скачка практически равны и
процесс распространения ударной волны
является изотермическим
,
.
Поэтому эти уравнения играют роль
адиабаты и ударной адиабаты для жидкости.
Проводя аналогию со случаем совершенного
газа, видим, что похожая картина
наблюдается при малых интенсивностях
ударных волн в совершенном газе, когда
адиабата и ударная адиабата совпадают
вблизи точки начального состояния.
В истории такой подход уже был. Риман вместо уравнения энергии в системе соотношений на разрыве использовал уравнение адиабаты Пуассона, т.е. заменил адиабату Гюгонио адиабатой Пуассона.
Скорость
ударной волны в жидкости совпадает со
скоростью звука в ней, если использовать
акустическое уравнение состояния.
Используя уравнение Тэта и исключая
или
из (2.2.7), можно найти выражение для
скорости (звука) ударной волны в
зависимости от
или
соответственно.
Скорость ударной волны в пузырьковой жидкости. В термодинамически равновесном приближении уравнение состояния имеет вид (1.1.20):
,
или
.
Как и в случае с жидкостью, уравнение состояния играет роль ударной адиабаты. Используя (2.2.7) найдем
.
Откуда
. (2.3.13)
Число Маха в этом случае есть
. (2.3.14)
Рис.
1.8.
и
виден из рис. 1.8 (
,
).
Напомним,
что уравнение (2.1.20) не учитывает
сжимаемость жидкости и справедливо
лишь для не очень сильных волн, когда
, где
– скорость звука в чистой (без пузырьков)
жидкости.