- •Содержание
- •1. Множества 10
- •2. Математическая логика 39
- •3. Теория графов 96
- •Тема 1. Множества 168
- •Тема 2. Математическая логика 169
- •Тема 3. Теория графов 171
- •Тема 1.
- •Множества
- •1.1. Операции над множествами. Мощность множеств. Отображение множеств
- •Упражнение 1.1.1
- •Упражнение 1.1.2
- •1.2. Отношения на множествах
- •Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?
- •Тема 2.
- •Математическая логика
- •2.1. Алгебра высказываний
- •Логические операции
- •Функции алгебры высказываний
- •2.2. Проблемы разрешимости. Нормальные формы Логические отношения
- •2. Отношение эквивалентности.
- •3. Несовместимость.
- •Проверка правильности рассуждений
- •Нормальные формы формул алгебры высказываний
- •Совершенные нормальные формы
- •Построение формулы алгебры высказываний по заданной логической функции
- •Моделирование алгебры высказываний с помощью релейно-контактных схем
- •2.3. Исчисление высказываний Символы, формулы, аксиомы исчисления высказываний. Правила вывода
- •Теорема дедукции
- •Проблемы непротиворечивости, полноты, независимости аксиом исчисления высказываний
- •2.4. Логика предикатов
- •Кванторы
- •Кванторы как обобщение логических связок.
- •Отрицание кванторных предикатов
- •Тема 3.
- •Теория графов
- •3.1. Графы
- •Степень вершины графа. Число ребер графа
- •Связность
- •Эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы. Теоремы Эйлера
- •Изоморфизм графов
- •Планарность. Плоские графы
- •Числа, характеризующие граф
- •Операции над графами. Объединение графов
- •Пересечение (произведение) графов
- •Прямое произведение графов
- •Матрицы для графов
- •Матрица инциденций
- •Матрицы достижимостей и контрадостижимостей
- •3.2. Деревья
- •Постановка задачи
- •Алгоритм Краскала
- •3.3. Экстремальные задачи на графах Задача о кротчайшем пути между двумя вершинами ориентированного графа и ее экономическая интерпретация
- •Алгоритм
- •Сети. Отношение порядка между вершинами ориентированного графа
- •Задача о пути максимальной длины между двумя вершинами ориентированного графа в сетевом планировании
- •Алгоритм
- •Сетевое планирование. Скорейшее время завершения проекта
- •Контрольное задание №1
- •Контрольное задание №2
- •Контрольное задание №3
- •Контрольное задание №4
- •Контрольное задание №5
- •Контрольное задание №6
- •Контрольное задание №7
- •Контрольное задание №8
- •Контрольное задание №9
- •Контрольное задание №10
- •Контрольное задание №11
- •Контрольное задание №12.
- •Контрольное задание №13.
- •Контрольное задание №14.
- •Контрольное задание №15
- •Список рекомендуемой литературы
- •Интернет-ресурсы
- •Тема 2. Математическая логика
- •Тема 3. Теория графов
Кванторы
Пусть P(x) – одноместный предикат, заданный на некотором множестве M. Если переменная x обозначает любой элемент из множества M, то P(x) является неопределенным высказыванием.
Операция ставит в соответствие неопределенному высказыванию P(x) высказывание xP(x), которое читается так: «для любого x имеет место P(x)» и по определению является истинным тогда и только тогда, когда P(x) истинно для любого элемента xM. Переход от неопределенного высказывания P(x) к высказыванию xP(x) называется операцией навешивания квантора общности по предметному переменному x.
Операция ставит в соответствие неопределенному высказыванию P(x) высказывание xP(x), которое читается так: «существует такое x, что имеет место P(x)» и по определению является истинным тогда и только тогда, когда P(x) истинно хотя бы для одного элемента xM. Переход от неопределенного высказывания P(x) к высказыванию xP(x) называется операцией навешивания квантора существования по предметному переменному x.
В первом случае мы говорим, что предметная переменная x связана в предикате P(x) квантором всеобщности, во втором случае – квантором существования.
Определим операции навешивания квантора для общего случая n-местного предиката P(x1,…,xn). Операции навешивания кванторов и по переменному x1 (в общем случае по переменному xi, где I=) ставит в соответствие предикату P(x1,…,xn) (n-1) – местные предикаты
x1P(x1,…, xn) и x1P(x1,…, xn)
соответственно.
Истинностные значения этих предикатов определяются для фиксированных наборов значений предметных переменных x2,…,xn следующим образом:
x1P(x1,a2…,an)=
x1P(x1,a2…,an)=
В общем случае, если k<n, то операцию навешивания квантора можно повторить k раз. Тогда переменные x1,…,xk в таком предикате будут связанными, а переменные xk+1,…,xn – свободными. При k=n предикат становится высказыванием.
Примеры.
Рассмотрим предикат Д(x1,x2) – «число x1 делится на число x2», определенный на множестве натуральных чисел. Тогда операция навешивания кванторов приводит к следующим утверждениям:
-
x1Д(x1, x2) – «для любого x1 имеет место Д(x1,x2)», т.е. всякое x1 делится на x2. Этот предикат принимает значение истины только для х2=1.
-
x1 Д(x1, x2) – «существует x1, которое делится на x2». Этот предикат принимает значение истины для любого значения x2.
-
x1x2Д(x1, x2) – «для всякого x1 и для всякого x2 имеет место делимость x1 на x2. Это высказывание является ложным.
-
x1x2Д(x1, x2) – «существует x1, которое делится на всякое x2» – ложное высказывание.
-
x2x1Д(x1, x2) – «для всякого x2 существует x1 такое, что x1 делится на x2» – истинное высказывание.
Кванторы как обобщение логических связок.
Пусть предметная область переменной x предикатов P(x,y) конечна: (x1,x2,…,xk). Тогда xP(x,y) означает: P(x1,y) – истинно, P(x2,y) – истинно и т.д., т.е.
xP(x,y) =P(x1,y)P(x2,y)…P(xk,y).
Аналогично xP(x,y) является сокращением дизъюнкции:
xP(x,y) =P(x1,y)P(x2,y)… P(xk,y).
Это показывает, что кванторы суть другая форма конъюнкции и дизъюнкции.