§ 1.6 Определитель n-го порядка

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.

Определение 1. Определителем матрицы размерности 1х1 (матрица состоит из одного элемента ), называется само число .

Для записи определителя используется обозначение или .

Определение 2. Определителем второго порядка матрицы

А=размерности 2х2 называется число ==.

Для определения определителя 3-го порядка запишем две матрицы:

рис. 1 рис. 2

Определение 3. Определителем третьего порядка называется число, образованное тремя слагаемыми, каждое из которых является произведением элементов, стоящих на главной диагонали и главных треугольников, взятые со знаком плюс ( рис. 1) и тремя слагаемыми, каждое из которых является произведением элементов, стоящих на второстепенной диагонали и второстепенных треугольников, взятые со знаком минус (рис. 2), т.е. выражение

(1)

Для того, чтобы ввести определение определителя n-го порядка необходимо ответить на три вопроса:

1. Сколько сомножитель в слагаемых определителя n-го порядка

2. Сколько всего слагаемых в определителе n-го порядка

3. По какому принципу ставятся знаки « + и - »

Из определения определителей 2 и 3 порядка видно, что число сомножителей определяется порядком матрицы, для которой вычисляется определитель. Причем легко заметить, что сомножители берутся по одному с каждого столбца и каждой строки.

Пример. В определителе 4-го порядка может быть слагаемое вида

а₁₁а₂₄а₃₂а₄₃, но не может быть слагаемого а₁₁а₂₄а₃₃а₄₃, т.к. из третьего столбца взято два элемента.

Для ответа на второй вопрос введем определение

Определение 4. Перестановкой n-ого порядка называется любое упорядоченное расположение чисел 1, 2, 3,..., n.

Например, две перестановки второго порядка будут (1,2) и (2,1).

Перечислим перестановки третьего порядка, рассмотрев индексы столбцов в слагаемых определителя третьего порядка (заметим, что все первые индексы –строк - упорядочены и постоянны – 1, 2, 3).

Для первых 3-х членов формулы (1)– перестановки (1 2 3), (2 3 1) и (3 1 2), для следующих 3-х членов – (3 2 1), (1 3 2) и (2 1 3).

Легко заметить, что на первом месте в перестановке может находиться любое из n чисел, тогда на втором будет находиться уже любое из (n-1) оставшихся чисел, на третьем (n-2) и т.д. Итак, число перестановок будет равно произведению n(n-1)(n-2) 21.

Лемма. Число всех перестановок n-ого порядка равно n!=1234...n

Следовательно, число перестановок третьего порядка равно 3!=123=6, что и определяет 6 слагаемых в определителе 3-го порядка, число слагаемых определителя матрицы 4- го порядка равно 24, 5-го порядка – 120 и т.д.

Для ответа на третий вопроса также понадобится определение.

Определение 5. Говорят, что пара чисел и в перестановке n-ого порядка образуют беспорядок (или инверсию), если при выполняется неравенство .

Число всех инверсий в перестановке будем обозначать символом .

Примеры

1. В перестановке пятого порядка (5 1 2 3 4) только пары чисел

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4) образуют инверсии, поэтому .

2) Очевидно, что .

Определение 6. Если число инверсий в перестановке четно, то перестановка называется четной, иначе – нечетной (0 инверсий считают четной перестановкой).

Определение 7. Операция перехода от одной перестановки к другой, при которой два числа меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется транспозицией.

Отметим очевидные свойства транспозиций.

1. От произвольной перестановки можно перейти к любой другой при помощи нескольких последовательно выполненных транспозиций.

2. При выполнении одной транспозиции перестановка переходит в перестановку противоположного наименования, т.е. четная перестановка в нечетную и обратно.

3. При четном числе транспозиций перестановка переходит в перестановку того же наименования, а при нечетном числе транспозиций – в перестановку противоположного наименования.

Пример. Рассмотрим перестановке (3,2,5,4,7,6,1). Найти минимальное число транспозиций для перехода к перестановке (1,2,3,4,5,6,7). Легко видеть, что число транспозиций равно 3.

(3,2,5,4,7,6,1)(5,2,3,4,7,6,1)(5,2,3,4,1,6,7)(1,2,3,4,5,6,7)

Легко заметить, что в формуле (1) перестановки (1 2 3), (2 3 1) и (3 1 2) четные и перед слагаемыми стоят знаки «+», а перестановки (3 2 1), (1 3 2) и (2 1 3) – нечетные и перед слагаемыми стоят знаки « - ».

Определение 7. Определителем n-ого порядка матрицы называется алгебраическая сумма n! слагаемых :

(2)

в каждом из которых по n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Знаки слагаемых определяются четностью или нечетностью перестановки.