§ 1.5 Специальные матрицы и их свойства

Теорема 1. Для любой квадратной матрицы А выполнено А I = I A = A

Доказательство. Рассмотрим матрицу В = АI, то по определению произведения АI каждый элемент из В будет представлен

b_ik=a_i1e_1k + a_i2e_2k +…+ a_ike_kk + a_i(k+1)e_(k+1k + a_ine_nk= a_ike_kk =a_ik 1=a_ik

где e_1k = 0, при k  i и e_1k = 1, при k = i

Заметим, что степень матрицы Аⁿ может быть представлена в виде кратного произведением матрицы самой на себя, т.е. Аⁿ = A  A  A

Теорема 2. Для произвольных матриц А, В выполнены равенства:

1) (А + В)^T = A^T + B^T 2) (AB)^T = B^T A^T

Доказательство (для простоты рассмотрим матрицы 2х2).

1) (А + В)^T =

А^T + B^T

2). Согласованность доказать самостоятельно (см. теорему1 п.1.4)

Далее: Пусть v_ijV, где V^т=(AB)^T, а u_ijU = B^T A^T. Тогда выполняется

u_ij = ^T_ij

Определение 1. Квадратная матрица А называется обратимой, если существует квадратная матрица Х, удовлетворяющая соотношениям: АХ = ХА = I. Каждая матрица Х, удовлетворяющая данному равенству, называется обратной к А (или обращением матрицы А ). Обратная матрица обозначается А^-1 .

Отметим очевидные свойства:

1) Если АХ = ХА = I, то Х^tА^t = А^tХ^t =I 2) ( А^T )^-1 = (A^-1)^T .

Пример. Рассмотрим матричное уравнение F = DX, элементами которого являются квадратные матрицы второго порядка, где

,

Для нахождения матрицы Х используем свойство обратной матрицы. Помножим левую и правую части уравнения (причем, слева) на матрицу, обратную к D: D^-1F = D^-1 DX = IX = X.

Следовательно для нахождения матрицы Х надо найти матрицу D^-1.

Рассмотрим матрицу и используя соотношение D^-1 D = E, приравняем результаты левой и правой частей равенства. Получим систему вида:

4a + 3b = 1

а + b = 0 или b = -1,a = 1, d = 4, c = -3 или

4c + 3d = 0

c + d = 1

, проверяя, получим D^-1 D = E

Тогда, Х = D^-1 F или .

Следует отметить, что в уравнении вида F = DXG для нахождения матрицы Х, необходимо совершить операции:

D^-1 F G^-1 = D^-1D X G G^-1 = X

Определение 2. Матрица А называется инвалютивной, если А² = I.

Теорема 3. Если матрица обладает двумя из свойств: симметричная, ортонормированная, инвалютивная, то она обладает и третьем свойством.

Пусть, например, матрица симметрична и ортонормированная, то

А = А^Т, АА^Т = I, то А² = I

Для построения инвалютивных матриц 2 и 3- го порядка надо использовать равенство АА = I. Тогда, проводя такие же рассуждения, как и в примере 1 п.1.4, получим

А = А₃ =

Определение 3. Матрица Р называется идемпотентной, если А² = А.

Доказать, что если матрица Р идемпотентна, то матрица А = 2Р – I инвалютивная и если А инвалютивная, то матрица Р=0.5(А+I) идемпотентна.

Если А инвалютивная, то матрица Р = 0.5 ( А + I ) идемпотентна и

1 0.5с 1 0.5 0.5с

P =

0 0 P= 0 0 0

0 0 0

Определение 4. Квадратная матрица A называется ортогональной, если произведение матрицы на транспонированную с ней матрицу является скалярной матрицей, т.е.

AA^t = A^tA = С = I

Квадратная матрица A называется ортонормированной, если

AA^t = A^tA = I

Основные свойства ортогональных матриц.

a) Для ортогональной матрицы А обратная матрица существует и

равна транспонированной матрице А^Т

Следует из определения ортогональной и обратной матриц:

AA^t = A^tA = С = I и AA^-1 = A^-1A = С = I

Ясно,что каждая ортогональная матрица имеет обратную матрицу.

b) Матрица, обратная к ортогональной матрице, будет

ортогональной матрицей.

Действительно, если А ортогональная, то (А^-1)^ТА^-1=(А^Т)^ТА^-1=АА^-1=I

с) Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

Пусть А, В – ортогональные матрицы, т.е.

AA^t = A^tA = С = I и ВВ^t = В^tВ = D = I. Рассмотрим АВ, тогда

(АВ)(АВ)^т= АВВ^ТА^Т = АIА^Т = АА^Т = I = I,

что и доказывает требуемое утверждение.

Определение 5. Пусть заданы матрицы А₁, А₂, …,А_k одной размерности. Тогда для любого набора чисел ₁, ₂,.., _k выражение А₁ ₁ + А₂₂ + … + А_k _k называют линейной комбинацией матриц А₁, А₂, …,А_k с коэффициентами ₁, ₂,.., _k .

Очевидно, что линейная комбинацию будет матрицей того же строения. Обратно, любая матрица может быть представлена в виде линейной комбинации матриц. Например,

= 2 + 3 +

Определение 6. Пусть задана матрица А и ее столбцы ( или строки) А₁, А₂, …,А_k . Тогда для любого набора чисел ₁, ₂,.., _k выражение А₁ ₁ + А₂₂ + … + А_k _k называют линейной комбинацией столбцов (или строк) матрицы А с коэффициентами ₁, ₂,.., _k .