§ 1.3 Элементарные операции над матрицами

Определение 1. Произведением матрицы А на число ( или числа на матрицу ) называется матрица D той же размерности, элементы которой равны

или

Определение 2. Суммой матриц и одной и той же размерности m x n называется матрица той же размерности m x n, элементы которой равны .

Можно показать, что любая квадратная матрица представима в виде сумма симметрической и кососимметрической матриц. Покажем это для матрицы 2-го порядка.

, где a₁₂ = c + b , a₂₁ = c - b

Вычитание матриц (А – В) можно рассматривать, как операцию сложения А + (-1)В, где матрица В умножена на число (-1).

Определив сложение матриц, легко получить следующие их свойства:

Если матрицы А, В, С согласованы по сложению (например, квадратные одного порядка), то выполняются очевидные равенства:

1. А + В = В + С 2. А + ( В + С ) = ( А + В ) + С

3. А + В = 0, где В = (-1)А 4. А + В = А, где А = 0.

Из определений 1, 2 для матриц А, В и чисел ,   К выполнено:

5. (А) = ()А = (А) = А()

6. ( + )А = А + А ( или А( + ) = А + А )

7. (А + В) = А + В ( или (А + В) = А + В )

8. А  1 = 1  А

Докажем, например, свойство 6 для матриц второго порядка.

( + )А =

А + B

В доказательстве использованы свойства вещественных чисел.

Таким образом, если для вещественных матриц определены операции умножения числа на матрицу и сложения матриц, то в этом случае множество матриц образует линейное пространство над полем K.

Упражнения. Доказать следующие равенства:

1. (АВ)=(А)В, 2. А(В)=(А)В, 3. (АВ) = А(В)

4. (-)А =- А; 5. -(А + В)= -А – В; 6. -(-А) = А.

§ 1.4 Произведение матриц

Определение 1. Если задана матрица размерности m x n и матрица размерности n x p ( т.е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В), то определена операция произведения матрицы А на матрицу В, результатом которой называется такая матрица размерности m x p , элементы которой вычисляются по формуле (правило "строка на столбец").

Примеры: 1) .

2) .

3) Пусть имеется два потребителя (i), три производителя (j), два вида продукции (товара). Найти матрицу С объемов k-го продукта, который получит i-ый потребитель.

1, 2, 3 производитель 1, 2 товар

1, 2 потребитель , .

Здесь - доля продукции, которую j-ый производитель отправляет i-ому потребителю, - объем к-ого товара, производимого j-ым производителем.

Найдем матрицу , для которой - объем к-ого продукта, который получит i-ый потребитель.

Можно убедиться в том, что

.

Теорема 1. Если определены операции произведения матриц ВС и АВ, то выполнено равенство А(ВС) = (АВ)С (иными словами, для матриц выполняется свойство ассоциативности по умножению).

Доказательство. Докажем согласованность операций А(ВС) и (АВ)С.

n p q p q

Пусть А =m B=n C=p , тогда АВ=G=m , ВС=Н=n ,

q q

тогда (АВ)С=m и А(ВС)=m матрицы одного порядка.

Пусть D=А(ВС), F=(АВ)С, то

d_ij = (

Теорема 2. Если определены операции сложения матриц А и В, а также операции произведения АС и ВС, то выполнено

(А + В)С = АС + ВС ( свойство дистрибутивности).

Доказать самостоятельно.

Произведение матрицы-столбца (m x 1) на матрицу-строку (1 x n) дает прямоугольную матрицу размерностью (m x n), а произведение матрицы-строки (1xm) на матрицу-столбец (mx1) дает матрицу 1 порядка (из одного элемента).

Замечание. Из приведенного результата легко заметить, что для операции произведения матриц не выполняется свойство коммутативности, т.е. матрица АВ может не совпадать с матрицей ВА.

Для прямоугольных матриц А(m x n) и В(n x p)- это очевидно, т.к. результатами АВ и ВА могут быть матрицы различной размерности. Для квадратных матриц свойство коммутативности выполняется только в отдельных случаях.

Определение 2. Матрицы А и В называются перестановочными (коммутативными), если выполнено АВ = ВА.

Пример 1. Для матрицы А= найти все перестановочные матрицы

вида В =

Для выполнения условия АВ = ВА, необходимо чтобы элементы матриц АВ и ВА, с соответствующими номерами, совпадали, т.е. из записи

х + 3а у + 3b x + 2y 3x + 4y

АВ = и BA =

2x + 4a 2y + 4b a + 2b 3a + 4b

следует необходимость выполнения условий:

х + 3а=x + 2y, у + 3b=3x + 4y, 2х + 4a = a + 2b, 2y + 4b=3a + 4b

Тогда: из равенства х + 3а = x + 2y  у = 1.5а

из равенства 2х + 4a = a + 2b  х = b – 1.5a

Например, при b=1,a=2 получим коммутативную матрицу В=