Построение регрессионной модели. Выбор подхода.
Для математического описания и получения статических характеристик ТОУ, выходная переменная которого зависит от многих входных переменных, наиболее совершенными являются экспериментально-статистические методы. Аппарат корреляционного и регрессионного анализов позволяет получить математическое описание объекта в виде полинома заданного вида, связывающего входные и выходные переменные в статическом режиме. Полученная зависимость называется уравнением регрессии.
Рис.47. Схема взаимодействия математических моделей объектов управления.
К математическим моделям объектов управления предъявляют ряд требований:
1) зависимости, описываемые моделью должны быть справедливы для всего расчетного интервала времени, на котором решается задача управления;
2) модель должна охватывать все входные переменные (управляющие, возмущающие воздействия), а также выходные (управляемые) величины.
При использовании теоретического подхода модель строится на основе соотношений, вытекающих из физических законов. При использовании формального подхода – на основе «вход–выходных» зависимостей (так называемом принципе «черного ящика»).
С целью накопления
исходного статистического материала
поставим пассивный эксперимент. Он
основан на регистрации контролируемых
параметров процесса в режиме нормальной
эксплуатации работы объекта без внесения
преднамеренных возмущений. Он экономически
более оправдан и практически единственно
возможен в том случае, когда испытаниям
подвергается реальный промышленный
объект с высокопроизводительным
непрерывным производством дорогостоящего
продукта. Если число опытов в пассивном
эксперименте задано (например, из
экономических соображений с учетом их
стоимости), единственное, что можно
сделать для увеличения точности
регрессионной модели, это выбрать
оптимальным образом интервал съема
данных Δt,
который определяют из условия получения
наиболее близкой к диагональной
информационной матрицы с максимальным
определителем. Для этого необходимо
знать авто- и взаимную корелляционные
функции случайных процессов
ТОУ
В частности, если при любых интервалах
корреляции взаимная ковариация между
переменными отсутствует, оптимальный
выбор должен производиться из условия
Δt=
max
Δj,
j=1,k,
где Δj
- интервал корреляции (время затухания)
процесса хj(t),
т.е интервал Δt
между соседними отсчетами был больше
чем время затухания автокорреляционной
функции самого "медленного"
случайного процесса. Однако не имеет
смысла делать Δt
много больше времени Δj,
так как при этом продолжительность
эксперимента существенно возрастает,
а величины выборочных дисперсий
практически не меняются.
Для оценки
работоспособности полученной регрессионной
модели часто вычисляют множественный
коэффициент корреляции (характеризует
тесноту связи между входными и выходной
переменной), т е анализируют разность
между единицей и величиной отношения
дисперсии внешнего шума к выборочной
дисперсии выходной переменной,
рассчитанной
относительно своего среднего значения.
Можно считать регрессионную модель
достаточно точной, если множественный
коэффициент корреляции более
.
В моменты времени
,
,...,
,
разделенные интервалом
будем измерять значения входных
переменных
,
,
,
и
выходных переменных
,
.
Полученные данные будем использовать
для нахождения оценок регрессионной
модели и оценки дисперсии внешнего
шума.
Проведем пассивный эксперимент и по полученным данным построим регрессионную модель ТОУ.
ЧИСЛО НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ K= 4
OБЪEM ВЫБОРКИ N= 15
ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ Т-КРИТЕРИЯ TKR= 2.145
ТАБЛИЦА HOMEPOB ИССЛЕДУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
1 I 1
2 I 2
3 I 3
4 I 4
ДИСПЕРСИЯ Y= .679548E+01
ПАРАМЕТРЫ СТАНДАРТИЗАЦИИ XM И SX
1 .51898E+01 .26068E+01
2 .52618E+01 .25586E+01
3 .44461E+01 .27219E+01
4 .47546E+01 .25433E+01
ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ
.100E+01
-.203E+00 .100E+01
.354E+00 -.166E+00 .100E+01
-.128E+00 -.113E+00 -.708E+00 .100E+01
ЧИСЛО ОБУСЛОВЛЕННОСТИ МАТРИЦЫ V= .256038E+01
! ФУНКЦИИ,ВКЛЮЧЕННЫЕ В РЕГРЕС- ! ЗНАЧ.ПАРАМЕТРА ! ЗНАЧ. !
! СИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ! РЕГРЕССИИ ! T-КРИТЕРИЯ !
! ! ! !
! 1 ! .9999999E+00 ! ******* !
! 2 ! .4496858E-08 ! .089 !
! 3 ! -.1012157E-06 ! 1.353 !
! 4 ! -.2279840E-07 ! .321 !
НОМЕР НЕЗНАЧИМОГО КОЭФФИЦИЕНТА 2
ЧИСЛО ОБУСЛОВЛЕННОСТИ МАТРИЦЫ V= .233389E+01
! ФУНКЦИИ,ВКЛЮЧЕННЫЕ В РЕГРЕС- ! ЗНАЧ.ПАРАМЕТРА ! ЗНАЧ. !
! СИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ! РЕГРЕССИИ ! T-КРИТЕРИЯ !
! ! ! !
! 1 ! .1000000E+01 ! ******* !
! 3 ! -.3622641E-07 ! .901 !
! 4 ! -.2329721E-07 ! .614 !
НОМЕР НЕЗНАЧИМОГО КОЭФФИЦИЕНТА 4
ЧИСЛО ОБУСЛОВЛЕННОСТИ МАТРИЦЫ V= .114286E+01
! ФУНКЦИИ,ВКЛЮЧЕННЫЕ В РЕГРЕС- ! ЗНАЧ.ПАРАМЕТРА ! ЗНАЧ. !
! СИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ! РЕГРЕССИИ ! T-КРИТЕРИЯ !
! ! ! !
! 1 ! .1000000E+01 ! ******* !
! 3 ! -.5527455E-07 ! 2.166 !
ОСТАТОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ= .256889E-12
ОСТАТОЧНАЯ СУММА КВАДРАТОВ= .33396E-11
ОТНОШЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ F= .00000
КОЭФФИЦИЕНТ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ = 1.000
GAMMA=5143251.00
КОЭФФИЦИЕНТЫ МОДЕЛИ В НАТУРАЛЬНОМ МАСШТАБЕ
B( 1)= .100000E+01 B( 2)= .000000E+00 B( 3)= -.529377E-07 B( 4)= .000000E+00
B( 5)= -.476837E-06
----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------
ДИСПЕРСИОННАЯ МАТРИЦА ПЛАНА
.120E-01
-.407E-02 .110E-01
-.443E-01 -.279E-01 .420E+00
КОBАРИЦИОННАЯ МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ
.309E-14
-.104E-14 .283E-14
-.114E-13 -.716E-14 .108E-12
ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ 1.0000 -.52938E-07 -.47684E-06