- •1. Определение и вывод уравнения эллипса.
- •9. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах отличны от нуля
- •10. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах равны нулю
- •12. Основная теорема о поверхностях 2го порядка.
- •13. Цилиндрические поверхности
- •14. Конические поверхности второго порядка.
- •15. Применение универсального метода сечения на примере исследования свойств эллипсоида.
- •21. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •22. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •25. Базис и рамерность линейного пространства. Координаты вектора
- •26. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности
- •27. Связь между базисами линейного пространства, преобразование координат при изменении базиса
- •28.Подпространства линейного пространства. Операции на подпространствах
- •29.Формула Грассмана. Прямая сумма подпространств
- •Вопрос 30: Линейная оболочка системы векторов
- •Вопрос 31:Классификация и примеры лин-ых отображений
- •32. Свойства линейных отображений
- •33. Линейный оператор, его матрица.
- •Вопрос 34:Координаты образа вектора при дейсвии линйного оператора
- •Вопрос 35:Изменение матрицы оператора при замене базиса
- •36.Ядро и образ линейного отображения.
- •37. Ранг и дефект лин оператора
- •38. Действия над лин опер и их связь с действиями над матрицами
- •39. Подобие матриц. Опред лин опер
- •40.Характеристич мног лин опер. Собственные значения и собственные век
- •41.Инвариантные подпространства.
- •42.Диагонализируемость линейного пространства.
- •43.Опред и примеры евклидовых пространств.
- •44.Неравенство Коши-Буняковского
- •45.Процесс ортогонализации Грамм-Шмидта.
- •46.Ортонормированный базис.
- •47.Изоморфизм евклид прост.
- •48.Сопряжонный лин оператор
- •49.Ортогональны лин опер
- •50.Самосопряжонный лин опер.Свойства
- •51. Критерий самосопряженности линейного оператора
- •52.Ортогональное дополнение
- •53. Определение квадратичной формы.Лин преобраз переменных
- •54.Метод Лагранжа приведение квадратичной формы к квадратичному виду.
- •55. Индекс и закон инерций квадратичных форм
- •56.Приведение действительной квадратичной формы к канонич виду с помощью ортогонального преобраз перемененных.
- •57.Нормальный вид действительной квадратичной формы.
- •58.Нормальный вид комплексной квадратичной формы.
- •59.Знакоопределённые квадратичные формы.
- •60.Критерий Сильвестра
Вопрос 31:Классификация и примеры лин-ых отображений
Опр.: пусть V и W век-ое прос-во над Р, отображение f:V->W удовлетворяет след.условиям
1) f(x+y)=f(x)+f(y)-аддитивность x,yV
2)f(x)= f(x), P,xV-однорд.
наз-ся линйным отображением прос-ва V->W Линейный оператор,его матрица yаз-ся лин-ое отображение. прос-ва V->V.Взаимооднозначные лин-ое отобр-ие V->W наз-ся изоморфоз
ным этих прос-тв.А V->V-арфаморфозмов V
Примеры: 1) ©:V->W,xV, ©;x->©’ W или так ©x=©’-нулевое векторное отображение; 2)V век-ое пр-во над Р, Р отображение Н2:V->V,xV H2(x)= x явл.лин-ым оператором пр-ва V с коэф-ом ; 3) отображение Rn[x] в себя ставещее каждому многочлену его производную.Оператор диф-сти d/dx.
Лемма:пусть V и W век. Пр-во над Р. Отображение f:V->W явл.лин-ым отображением пр-ва V в пр-во W <==>
x,yV и ,Pf (x+y)= f(x)+ f(y)
Док-во: 1) аддитивность ==1
2) однородность =0
32. Свойства линейных отображений
Пусть V и W—векторные пространства над полем f.f:V→W —называется линейным отображением, если: 1.f(x+y)=f(x)+f(y), для всех х и у принадлежащих V; 2.f(αx)=αf(x),α принадлежит Р и для всех х принадлежащих V.Линейный оператор — линейное отображение пространства в себя. Взаимнооднозначное отображение пространства V и W.Взаимнооднозначный линейный оператор — автоморфизм пространства V.Назовём проекцией вектора х на пространстве , параллельного подпространству .Обозначим: (V):V→V, (V):x→—линейный оператор проекции. Аналогично на .
Лемма: Пусть V и W векторное пространство над полем Р. f:V→W—отображение т.и т.т., когда : 1.f(αx+βy)=αf(x)+βf(y), для всех α и β принадлежащих Р, и х,у принадлежащих V.
Док-во: 1.При α=β=1;2.При α=1 , β=0
Лема: Пусть V и W—линейные пространства над полем Р, тогда f:V→W—линейное и: 1.f(θ)=, где θ принадлежит V, а принадлежит W;2.f(-x)=-f(x), для всех х принадлежащих V;3.для всех ,,…,, принадлежащих V, для всех ,,…, принадлежащих Р верно, что f(++...+)= ++...+);4.Если ,,…,—линейнонезависима, то ,,…,)— линейнонезависимы.
33. Линейный оператор, его матрица.
Опред: пусть v,w вектор пространства над олном полем удов.след условиям:
1)условие аддетивности;
2)условие однородности;
Линейным опер.пространство V в себе линейное отображение простр V в себя. Напомним что взаимно однозначное лин.отображение пространств V, пространства W/
Взаимно однозначное лин пространство V в себя наз линейным преобразованием или автоморфизмом пространства V.
Пр: 1) рассмотрим Θ: V W для любых xЄV, Θ: x Θ’ЄW Θ(x)= Θ’
Такое отображение называется нулевым
2) Пусть V векторное пространство V , αЄP
Отображение λα: VV для любых xЄV : Hα(x)=αx является лин опер пространства V
Гомотетия:
Частичными случаями этого преобраз явл:
ε:Xx, α=1
Θ:X Θ, α=0
3) Отображ прост Rn[x]
Отображение в себя, стоновящийся в соответс имеет свое отображ это такое отображ явл отриц диффиринциала данного пространства и обознач d/dx
4)пусть векторное пространство V=U1 U2
Тогда по определению суммы для любых xЄV x=x1+x2, где x1ЄU1, x2ЄU2
Назовем вектор х1 проекцией вектора х на подпространство U1// подпрос U2 => PrU1:VV PrU1(x)=x1 Назыв проектором пространства М над подпр U1//U2
Лемма1: пусть V и W вект прос над полем Р.Отображение f : VW являеться мин отображ простр V в W , тогда и т.т.,к для люб х,уЄV и для люб α,βЄР вып условие f(α*x+β*y)=α*f(x)+β*f(y)
Док: 1)α=β=1; 2)β=0
Лемма2:пусть V и W век прост Р.
Вып след условие θ и θ’ –нулевой вектор прост V и W соответ то: 1)f(θ)=θ’
2)f(-x)=-f(x) для люб хЄV; 3)при люб систем вектор х1,x2…xnЄV и для люб α1,α2…αnЄP имеет смысл равенство
4)если сист век x1,x2…xnЄV лин зависима, то лин завис и система век f(x1),f(x2)…f(xn)простр ЄV лин независ, то и лин незав система вект f(x1),f(x2)…f(xn).
След теорема показ что для зад лин отображ из V в W достаточно задать образы век некоторого базиса пространства V.
Теорема:пусть даны лин простр V и W, базис е1,е2…еnЄV нек системы век а1,а2…аnЄW, тогда сущ е длин отображ пространство V и W, т что α(е1)=аi,i=1,n
Следствие: лин опер f вектор прост VW однознач опред векторами f(е1), f(е2)… f(еn), где е1, е2… еnЄV
Опред: пусть f лин опер n мерного прост V над P,тогда ввек f(е1), f(е2)… f(еn) тоже ЄV. Разложим эти вектора по векторам базиса (*)f(e1)=a11*e1+a12*e2+…+a1n*en
………………………..
аn1*e1+an2*e2+…+ann*en
a11 a12 … a1n
A=..…………...
an1 an2 … ann
Матрица А наз матрицей опер f в базисе е1, е2… еn
Обозначим столбец вект базиса и столбец их образов
e1 f(e1)
[e]=… [f(e)]=… (*)
en f(en)
тогда [f(e)]=A[e]
Пр: пусть Нα-опер вект простр
Нα…,е1, е2… еnЄV
f(e1)=α*e1= α*e1+0*e2+…+0*en
f(e2)=0*e1+…+0*en
…
f(en)=0*e1+…+0*en
Пр2: пусть d/dx опер диф Rn[x]
1,x,x2…xn
d/dx(1)=0=0*1+0*x+0*x2+…+0*xn
d/dx(x)=1=1*1+0*x+0*x2+…+0*xn
d/dx(x2)=2x=0*1+2*x+0*x2+…+0*xn
…
d/dx(xn)=n*xn-1=0*1+0*x+0*x2+…+n*xn-1+0*xn
Теорема:f лин опер n мерного прост над полем Р е1, е2… еn базис пространства V, xЄV, тогда координ строка вектора от х в базисе е1, е2… еn=координ строке х в этом базисе умножаем на матрицу А, т.е. (f(x))=A*(x). В разных базисах оператор имеет разную матрицу,но сущ связь.
Теорема: пусть f лин оператор n мерного пространства над Р, е1, е2… еn и е’1, е’2… е’n 2 различных базиса прост V.T-это матрица перехода от базиса е к е’,если
А матрица перехода от е к е’.Если А мат опре f в базисе е1, е2… еn, а матрица В матрица опер f’ в базис е’1, е’2… е’n,то верна формула В=ТАТ-1